Cálculo Ejemplos

$x y (\frac{d y}{d x}) = 1 + y^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ por $x y$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ por $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Paso 1.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Paso 1.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Paso 1.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y}{x}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Para escribir $\frac{y}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y \cdot y}{x y}$

Paso 1.2.4

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{x y}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{1 + y^{2}}{y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y (x)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 1 + y^{2}$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 1 + y^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$2 y$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Simplifica $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Paso 3.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Paso 3.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Paso 3.4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Paso 3.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Paso 3.6

Reescribe $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}$

Paso 3.7

Resuelve $y$

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Paso 3.7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Paso 3.7.2

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Paso 3.7.3

Simplifica.

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Paso 3.7.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Paso 3.7.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Paso 3.7.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.3.2.1

Reordena los factores en $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.7.4

Resuelve $y$

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Paso 3.7.4.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.7.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Paso 3.7.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$