Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} + 2$

Paso 1

Sea $V = \frac{y}{t}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - V + 2$

Paso 2

Resuelve $V = \frac{y}{t}$ en $y$ .

$y = V t$

Paso 3

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V t$ con respecto a $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Paso 4

Sustituye $t \frac{d V}{d t} + V$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V + 2$

Paso 5

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 5.1

Separa las variables.

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Paso 5.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d t}$

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Paso 5.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d t}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$t \frac{d V}{d t} = - V + 2 - V$

Paso 5.1.1.1.2

Resta $V$ de $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$

Paso 5.1.1.2

Divide cada término en $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ por $t$ y simplifica.

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Paso 5.1.1.2.1

Divide cada término en $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ por $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Paso 5.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 5.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Paso 5.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Paso 5.1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Paso 5.1.2

Factoriza.

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Paso 5.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V + 2}{t}$

Paso 5.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2 V + 2$ .

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Paso 5.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 V$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2}{t}$

Paso 5.1.2.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2 (1)}{t}$

Paso 5.1.2.2.3

Factoriza $2$ de $2 (- V) + 2 (1)$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Paso 5.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{- V + 1}$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Paso 5.1.4

Cancela el factor común de $- V + 1$ .

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Paso 5.1.4.1

Factoriza $- V + 1$ de $2 (- V + 1)$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Paso 5.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Paso 5.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{2}{t}$

Paso 5.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{- V + 1} d V = \frac{2}{t} d t$

Paso 5.2

Integra ambos lados.

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Paso 5.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{2}{t} d t$

Paso 5.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Sea $u = - V + 1$ . Entonces $d u = - d V$ , de modo que $- d u = d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Deja $u = - V + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 5.2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 5.2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Paso 5.2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Paso 5.2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Paso 5.2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{2}{t} d t$

Paso 5.2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Paso 5.2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- V + 1$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Paso 5.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Paso 5.2.3.2

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Paso 5.2.3.3

Simplifica.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Paso 5.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| - V + 1 |) = 2 \ln (| t |) + C$

Paso 5.3

Resuelve $V$

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Paso 5.3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - 2 \ln (| t |) = C$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| t |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Paso 5.3.2.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| t |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln (t^{2}) = C$

Paso 5.3.3

Suma $\ln (t^{2})$ a ambos lados de la ecuación.

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$

Paso 5.3.4

Divide cada término en $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - V + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| - V + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Paso 5.3.4.2.2

Divide $\ln (| - V + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| - V + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Paso 5.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Paso 5.3.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Paso 5.3.4.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (t^{2})}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (t^{2})$

Paso 5.3.4.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot \ln (t^{2})$ como $- \ln (t^{2})$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - \ln (t^{2})$

Paso 5.3.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| - V + 1 |) + \ln (t^{2}) = - C$

Paso 5.3.6

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - V + 1 | t^{2}) = - C$

Paso 5.3.7

Reordena los factores en $\ln (| - V + 1 | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$

Paso 5.3.8

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (t^{2} | - V + 1 |)} = e^{- C}$

Paso 5.3.9

Reescribe $\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = t^{2} | - V + 1 |$

Paso 5.3.10

Resuelve $V$

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Paso 5.3.10.1

Reescribe la ecuación como $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ .

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$

Paso 5.3.10.2

Divide cada término en $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ por $t^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.10.2.1

Divide cada término en $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ por $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Paso 5.3.10.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.10.2.2.1

Cancela el factor común de $t^{2}$ .

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Paso 5.3.10.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Paso 5.3.10.2.2.1.2

Divide $| - V + 1 |$ por $1$ .

$| - V + 1 | = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Paso 5.3.10.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$- V + 1 = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Paso 5.3.10.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$

Paso 5.3.10.5

Divide cada término en $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.10.5.1

Divide cada término en $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.10.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.10.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{V}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.10.5.2.2

Divide $V$ por $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.10.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.10.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.10.5.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.10.5.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ como $- (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.10.5.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + 1$

Paso 5.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.4.1

Simplifica la constante de integración.

$V = - (\pm \frac{C}{t^{2}}) + 1$

Paso 5.4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$V = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Paso 6

Sustituye $\frac{y}{t}$ por $V$ .

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Paso 7

Resuelve $\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$ en $y$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados por $t$ .

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $(- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{t^{2}}$ y $C$ .

$y = (- \frac{C}{t^{2}} + 1) t$

Paso 7.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{C}{t^{2}} t + 1 t$

Paso 7.2.2.1.3

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 7.2.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{C}{t^{2}}$ al numerador.

$y = \frac{- C}{t^{2}} t + 1 t$

Paso 7.2.2.1.3.2

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Paso 7.2.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Paso 7.2.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- C}{t} + 1 t$

Paso 7.2.2.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.1.4.1

Multiplica $t$ por $1$ .

$y = \frac{- C}{t} + t$

Paso 7.2.2.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{C}{t} + t$

Paso 7.2.2.1.4.3

Reordena $- \frac{C}{t}$ y $t$ .

$y = t - \frac{C}{t}$