Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} y d x = (3 x^{3} + y^{3}) d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Resta $(3 x^{3} + y^{3}) d y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x^{2} y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$

Paso 2.2

Como $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x^{2} y$ con respecto a $y$ es $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2}$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (3 x^{3} + y^{3})$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x^{3} + y^{3})]$

Paso 3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (3 x^{3} + y^{3})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Paso 3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Paso 3.7

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2} + 0)$

Paso 3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.1

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2})$

Paso 3.8.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 9 x^{2}$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 9 x^{2}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} = - 9 x^{2}$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x^{2} = - 9 x^{2}$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $- 9 x^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 9 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $2 x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 9 x^{2} - (2 x^{2})}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $2 x^{2} y$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $2 x^{2} y$ por $M$ .

$\frac{- 9 x^{2} - (2 x^{2})}{2 x^{2} y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 9 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 9 - 1 \cdot 2 x^{2}}{2 x^{2} y}$

Paso 5.3.2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 1 \cdot 2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Paso 5.3.2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot - 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x^{2} (- 9 - 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} (- 9 - 2)}{2 x^{2} y}$

Paso 5.3.2.3

Resta $2$ de $- 9$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 11}{2 x^{2} y}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \cdot - 11}{2 x^{2} y}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 11}{2 y}$

Paso 5.3.4

Sustituye $2 x^{2} y$ por $M$ .

$- \frac{11}{2 y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{2 y} d y}$

Paso 6.2

Dado que $\frac{11}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{11}{2}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 6.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Paso 6.4

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} \ln (| y |)} + C$

Paso 6.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.1

Multiplica $- \frac{11}{2} \ln (| y |)$ .

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Paso 6.5.1.1

Reordena $\ln (| y |)$ y $\frac{11}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \ln (| y |))} + C$

Paso 6.5.1.2

Simplifica $\frac{11}{2} \ln (| y |)$ al mover $\frac{11}{2}$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})} + C$

Paso 6.5.2

Simplifica $- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1})} + C$

Paso 6.5.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1} + C$

Paso 6.5.4

Multiplica los exponentes en ${({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.5.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11}{2} \cdot - 1} + C$

Paso 6.5.4.2

Multiplica $\frac{11}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 6.5.4.2.1

Combina $\frac{11}{2}$ y $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11 \cdot - 1}{2}} + C$

Paso 6.5.4.2.2

Multiplica $11$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 11}{2}} + C$

Paso 6.5.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{11}{2}} + C$

Paso 6.5.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{11}{2}}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $2 x^{2} y d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $2 x^{2} y$ por $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$2 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.2

Multiplica $2 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Paso 7.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$x^{2} y \frac{2}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{2}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$y \frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.2.3

Combina $y$ y $\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 2)}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.3

Mueve $y^{1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 1}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $y^{\frac{11}{2}}$ por $y^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} - 1}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11 - 1 \cdot 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11 - 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.4.5.2

Resta $2$ de $11$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.6

Multiplica $- (3 x^{3} + y^{3})$ por $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Paso 7.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (- (3 x^{3}) - y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Paso 7.8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (- 3 x^{3} - y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Paso 7.9

Multiplica $- 3 x^{3} - y^{3}$ por $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- 3 x^{3} - y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Paso 7.10

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3}) - y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Paso 7.11

Factoriza $- 1$ de $- y^{3}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3}) - (y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Paso 7.12

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{3}) - (y^{3})$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3} + y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Paso 7.13

Reescribe $- (3 x^{3} + y^{3})$ como $- 1 (3 x^{3} + y^{3})$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- 1 (3 x^{3} + y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Paso 7.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \int x^{2} d x$

Paso 9.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 9.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.1

Reescribe $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 9.3.2

Simplifica.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}} \cdot 3} x^{3} + C$

Paso 9.3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3 \cdot y^{\frac{9}{2}}} x^{3} + C$

Paso 9.3.2.3

Multiplica $3$ por $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3 y^{\frac{9}{2}}} x^{3} + C$

Paso 9.3.2.4

Combina $\frac{2}{3 y^{\frac{9}{2}}}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}]$ .

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Paso 12.3.1

Como $\frac{2 x^{3}}{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}$ con respecto a $y$ es $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.2

Reescribe $\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}$ como ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [{(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{\frac{9}{2}}$ .

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Paso 12.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{9}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 12.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot - 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{9 \cdot - 1} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.5.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.9.2

Resta $2$ de $9$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{7}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.10

Combina $\frac{9}{2}$ y $y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} \frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.11

Combina $\frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}$ y $y^{- 9}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{7}{2}} y^{- 9}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.12

Multiplica $y^{\frac{7}{2}}$ por $y^{- 9}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.12.1

Mueve $y^{- 9}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 (y^{- 9} y^{\frac{7}{2}})}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- 9 + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.12.3

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.12.4

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.12.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.12.6

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.12.6.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 18 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.12.6.2

Suma $- 18$ y $7$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.12.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- \frac{11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.13

Mueve $y^{- \frac{11}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.14

Multiplica $\frac{2 x^{3}}{3}$ por $\frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}$ .

$- \frac{2 x^{3} \cdot 9}{3 (2 y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.15

Multiplica $9$ por $2$ .

$- \frac{18 x^{3}}{3 (2 y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.16

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{18 x^{3}}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.17

Factoriza $6$ de $18 x^{3}$ .

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.18

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.18.1

Factoriza $6$ de $6 y^{\frac{11}{2}}$ .

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 (y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.18.2

Cancela el factor común.

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.3.18.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1.1

Simplifica $\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Paso 13.1.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 13.1.1.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 x^{3} + 3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Paso 13.1.1.1.2

Suma $- 3 x^{3}$ y $3 x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Paso 13.1.1.1.3

Suma $0$ y $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Paso 13.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.2.1

Mueve $y^{3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 3}} = 0$

Paso 13.1.1.2.2

Multiplica $y^{\frac{11}{2}}$ por $y^{- 3}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} - 3}} = 0$

Paso 13.1.1.2.2.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}} = 0$

Paso 13.1.1.2.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}} = 0$

Paso 13.1.1.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11 - 3 \cdot 2}{2}}} = 0$

Paso 13.1.1.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1.2.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11 - 6}{2}}} = 0$

Paso 13.1.1.2.2.5.2

Resta $6$ de $11$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = 0$

Paso 13.1.2

Resta $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Paso 14.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Paso 14.4

Mueve $y^{\frac{5}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$g (y) = - \int {(y^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d y$

Paso 14.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 14.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d y$

Paso 14.5.2

Multiplica $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 14.5.2.1

Combina $\frac{5}{2}$ y $- 1$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d y$

Paso 14.5.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{- 5}{2}} d y$

Paso 14.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g (y) = - \int y^{- \frac{5}{2}} d y$

Paso 14.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{5}{2}}$ con respecto a $y$ es $- \frac{2}{3} y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2}{3} y^{- \frac{3}{2}} + C)$

Paso 14.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.7.1

Simplifica.

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Paso 14.7.1.1

Combina $y^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$g (y) = - (- \frac{y^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3} + C)$

Paso 14.7.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2 \cdot y^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

Paso 14.7.1.3

Multiplica $2$ por $y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2 y^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

Paso 14.7.1.4

Mueve $y^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C)$

Paso 14.7.2

Simplifica.

$g (y) = - - \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 14.7.3

Simplifica.

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Paso 14.7.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = 1 \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 14.7.3.2

Multiplica $\frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$g (y) = \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$