Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\sin (y) + y \cos (y)$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\sin (y) + y \cos (y)$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{2 x \log (e^{x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Paso 1.2.1.2

Simplifica $2 \log (e^{x})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log ({(e^{x})}^{2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Paso 1.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 1.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{x \cdot 2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Paso 1.2.1.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = x \log (e^{2 x}) + 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(\sin (y) + y \cos (y)) d y = (x \log (e^{2 x}) + 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \sin (y) + y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sin (y) d y + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Paso 2.2.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - \int \sin (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - (- \cos (y) + C_{2}) = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Simplifica.

$- \cos (y) + y \sin (y) + \cos (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

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Paso 2.2.5.2.1

Suma $- \cos (y)$ y $\cos (y)$ .

$y \sin (y) + 0 + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Paso 2.2.5.2.2

Suma $y \sin (y)$ y $0$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reescribe $x \log (e^{2 x}) + 1$ como $x (2 x \log (e)) + 1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) + 1 d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) d x + \int d x$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x) \log (e) d x + \int d x$

Paso 2.3.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x^{1}) \log (e) d x + \int d x$

Paso 2.3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{1 + 1} \log (e) d x + \int d x$

Paso 2.3.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{2} \log (e) d x + \int d x$

Paso 2.3.4

Dado que $2 \log (e)$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 \log (e)$ fuera de la integral.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) \int x^{2} d x + \int d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int d x$

Paso 2.3.6

Aplica la regla de la constante.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{x^{3} \cdot 2 \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Paso 2.3.7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 x^{3} \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Paso 2.3.7.4

Reordena los términos.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y \sin (y) = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + K$