Cálculo Ejemplos

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Multiplica $1$ por $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 1$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y + 2 x$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Paso 3.4

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$0 = 2$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 + 0}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $1$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $1$ por $M$ .

$\frac{2 + 0}{1}$

Paso 5.3.2

Divide $2 + 0$ por $1$ .

$2 + 0$

Paso 5.3.3

Sustituye $1$ por $M$ .

$2$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int 2 d y}$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

Paso 6.2

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $d x + (y + 2 x) d y = 0$ por el factor integrador $e^{2 y}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $1$ por $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Paso 7.2

Multiplica $y + 2 x$ por $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = e^{2 y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 y} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ .

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Paso 12.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{2 y} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = 2 y$ .

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Paso 12.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y$ .

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 y}$ .

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.5

Simplifica.

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Paso 12.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 12.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 13.1.1

Resta $2 x e^{2 y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

Paso 13.1.2

Combina los términos opuestos en $y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ .

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Paso 13.1.2.1

Resta $2 x e^{2 y}$ de $2 x e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

Paso 13.1.2.2

Suma $y e^{2 y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $y e^{2 y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

Paso 14.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{2 y}$ .

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Paso 14.4

Simplifica.

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Paso 14.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 y}$ .

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Paso 14.4.2

Combina $y$ y $\frac{e^{2 y}}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Paso 14.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

Paso 14.6

Elimina los paréntesis.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

Paso 14.7

Sea $u = 2 y$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 14.7.1

Deja $u = 2 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 14.7.1.1

Diferencia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 14.7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 14.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 14.7.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 14.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 14.8

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 14.9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 14.10

Simplifica.

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Paso 14.10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Paso 14.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Paso 14.11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Paso 14.12

Reescribe $\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ como $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Paso 14.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Paso 16

Simplifica $f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ .

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Paso 16.1.2

Combina $\frac{y}{2}$ y $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Paso 16.1.3

Combina $e^{2 y}$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Paso 16.2

Resta $\frac{e^{2 y}}{4}$ de $e^{2 y} x$ .

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Paso 16.2.1

Reordena $e^{2 y}$ y $x$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Paso 16.2.2

Para escribir $x e^{2 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Paso 16.2.3

Combina $x e^{2 y}$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Paso 16.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

Paso 16.3

Simplifica el numerador.

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Paso 16.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

Paso 16.3.2

Factoriza $e^{2 y}$ de $4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ .

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Paso 16.3.2.1

Factoriza $e^{2 y}$ de $4 x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

Paso 16.3.2.2

Factoriza $e^{2 y}$ de $- e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

Paso 16.3.2.3

Factoriza $e^{2 y}$ de $e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Paso 16.4

Para escribir $\frac{y e^{2 y}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Paso 16.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 16.5.1

Multiplica $\frac{y e^{2 y}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Paso 16.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Paso 16.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Paso 16.7

Simplifica el numerador.

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Paso 16.7.1

Factoriza $e^{2 y}$ de $y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

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Paso 16.7.1.1

Factoriza $e^{2 y}$ de $y e^{2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Paso 16.7.1.2

Factoriza $e^{2 y}$ de $e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

Paso 16.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$