Cálculo Ejemplos

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y (y^{3} - x)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (y^{3} - x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = y^{3} - x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [y^{3} - x] + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} - x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3.3

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + 0) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3.4

Suma $3 y^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.4

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (y^{1} y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{1 + 2} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.6

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \cdot 1$

Paso 2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.8.1

Multiplica $y^{3} - x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + y^{3} - x$

Paso 2.8.2

Suma $3 y^{3}$ y $y^{3}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} - x$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x (y^{3} + x)$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (y^{3} + x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{3} + x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [y^{3} + x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \cdot 1$

Paso 3.3.7

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.7.1

Multiplica $y^{3} + x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + y^{3} + x$

Paso 3.3.7.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 2 x$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $4 y^{3} - x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $y^{3} + 2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $y^{3} + 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $4 y^{3} - x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $y (y^{3} - x)$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $y (y^{3} - x)$ por $M$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3}) - - x}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} - - x}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + 1 x}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.2.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + x}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.2.4

Resta $4 y^{3}$ de $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} + 2 x + x}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.2.5

Suma $2 x$ y $x$ .

$\frac{- 3 y^{3} + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.2.6

Factoriza $3$ de $- 3 y^{3} + 3 x$ .

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Paso 5.3.2.6.1

Factoriza $3$ de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.2.6.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (x)}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.2.6.3

Factoriza $3$ de $3 (- y^{3}) + 3 (x)$ .

$\frac{3 (- y^{3} + x)}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $- y^{3} + x$ y $y^{3} - x$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- y^{3}$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) + x)}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (- x))}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (y^{3}) - 1 (- x)$ .

$\frac{3 (- (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.3.4

Reescribe $- (y^{3} - x)$ como $- 1 (y^{3} - x)$ .

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Paso 5.3.3.6

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Paso 5.3.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Paso 5.3.5

Sustituye $y (y^{3} - x)$ por $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Paso 6.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 6.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Simplifica $- 3 \ln (| y |)$ al mover $- 3$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Paso 6.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $y (y^{3} - x)$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y^{3}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$(y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $y^{3} - x$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $x (y^{3} + x)$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x \cdot x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.6

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.7

Multiplica $x y^{3} + x^{2}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.8

Factoriza $x$ de $x y^{3} + x^{2}$ .

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Paso 7.8.1

Factoriza $x$ de $x y^{3}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.8.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x \cdot x}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.8.3

Factoriza $x$ de $x (y^{3}) + x \cdot x$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = \frac{y^{3} - x}{y^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $\frac{1}{y^{2}}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{y^{2}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int y^{3} - x d x$

Paso 9.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\int y^{3} d x + \int - x d x)$

Paso 9.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C + \int - x d x)$

Paso 9.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - \int x d x)$

Paso 9.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Paso 9.6

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})]$ .

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Paso 12.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = \frac{1}{y^{2}}$ y $g (y) = y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}] + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.4

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{3} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.6

Como $- \frac{x^{2}}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.7

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{2}$ .

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Paso 12.3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.10

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} (3 \cdot x y^{2} + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.11

Suma $3 x y^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} (3 x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.12

Combina $3$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3}{y^{2}} (x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.13

Combina $x$ y $\frac{3}{y^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}} y^{2} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.14

Combina $\frac{x \cdot 3}{y^{2}}$ y $y^{2}$ .

$\frac{x \cdot 3 y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.15

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.16

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.16.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.16.2

Divide $3 x$ por $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.17

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.17.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.17.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.18

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.19

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.3.21

Resta $4$ de $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5

Simplifica.

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Paso 12.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + y^{3} x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3

Combina los términos.

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Paso 12.5.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{y^{3}}$ .

$3 x + y^{3} x \frac{- 2}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 x + y^{3} x (- \frac{2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.3

Combina $y^{3}$ y $\frac{2}{y^{3}}$ .

$3 x + x (- \frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.4

Combina $x$ y $\frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}$ .

$3 x - \frac{x (y^{3} \cdot 2)}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$3 x - \frac{x (2 \cdot y^{3})}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$3 x - \frac{2 \cdot x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.7

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 12.5.3.7.1

Cancela el factor común.

$3 x - \frac{2 x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.7.2

Divide $2 x$ por $1$ .

$3 x - (2 x) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.9

Combina $- 2$ y $\frac{1}{y^{3}}$ .

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 x - 2 x + 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.12

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $1$ .

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.13

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{2}{y^{3}}$ .

$3 x - 2 x + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.14

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$3 x - 2 x + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.5.3.15.1

Cancela el factor común.

$3 x - 2 x + \frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.15.2

Reescribe la expresión.

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3.16

Resta $2 x$ de $3 x$ .

$x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 12.5.4

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 13.1.1

Resta $\frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x \cdot x}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.3.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - (x \cdot x)}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x^{2}}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.4

Combina los términos opuestos en $x^{2} - x y^{3} - x^{2}$ .

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Paso 13.1.4.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3} + 0}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.4.2

Suma $- x y^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.5

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 13.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.5.2

Divide $- x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x = 0$

Paso 13.1.6

Combina los términos opuestos en $\frac{d g}{d y} + x - x$ .

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Paso 13.1.6.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Paso 13.1.6.2

Suma $\frac{d g}{d y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Paso 14.3

La integral de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Paso 14.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (y) = C$

Paso 15

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 16

Simplifica cada término.

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Paso 16.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) + C$

Paso 16.2

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

Paso 16.3

Simplifica el numerador.

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Paso 16.3.1

Factoriza $x$ de $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 16.3.1.1

Factoriza $x$ de $y^{3} x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

Paso 16.3.1.2

Factoriza $x$ de $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x (- \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Paso 16.3.1.3

Factoriza $x$ de $x y^{3} + x (- \frac{x}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Paso 16.3.2

Para escribir $y^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Paso 16.3.3

Combina $y^{3}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (\frac{y^{3} \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Paso 16.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{x \frac{y^{3} \cdot 2 - x}{2}}{y^{2}} + C$

Paso 16.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x \frac{2 y^{3} - x}{2}}{y^{2}} + C$

Paso 16.4

Combina $x$ y $\frac{2 y^{3} - x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{x (2 y^{3} - x)}{2}}{y^{2}} + C$

Paso 16.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 16.6

Combinar.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x) \cdot 1}{2 y^{2}} + C$

Paso 16.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2 y^{2}} + C$