Cálculo Ejemplos

$e^{x} (y - 1) d x + 2 (e^{x} + 4) d y = 0$

Paso 1

Resta $e^{x} (y - 1) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 (e^{x} + 4) d y = - e^{x} (y - 1) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (2 (e^{x} + 4)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Paso 3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $e^{x} + 4$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ al numerador.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $y - 1$ de $(e^{x} + 4) (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Paso 3.5.3

Factoriza $y - 1$ de $e^{x} (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Paso 3.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Paso 3.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 4} e^{x} d x$

Paso 3.6

Combina $\frac{- 1}{e^{x} + 4}$ y $e^{x}$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Paso 4.2.2

Sea $u_{1} = y - 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Deja $u_{1} = y - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Diferencia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 4.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 4.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 4.2.2.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.2.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Paso 4.2.3

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Paso 4.2.4

Simplifica.

$2 \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Paso 4.2.5

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y - 1$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u_{2} = e^{x} + 4$ . Entonces $d u_{2} = e^{x} d x$ , de modo que $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u_{2} = e^{x} + 4$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $e^{x} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 4.3.2.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 4.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.2.1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x} + 0$

Paso 4.3.2.1.4.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$e^{x}$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.3

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.4

Simplifica.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.5

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x} + 4$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$2 \ln (| y - 1 |) = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| y - 1 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Paso 5.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y - 1 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Paso 5.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |) = C$

Paso 5.2.1.3

Reordena los factores en $\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |)$ .

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2}) = C$

Paso 5.3

Expande $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ .

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Paso 5.3.1

Reescribe $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ como $\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$

Paso 5.3.2

Expande $\ln ({(y - 1)}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1)$

Paso 5.4

La ecuación expandida es $\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$

Paso 5.5

Resta $\ln (| e^{x} + 4 |)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$

Paso 5.6

Divide cada término en $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $\ln (y - 1)$ por $1$ .

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Paso 5.7

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y - 1)} = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Paso 5.8

Reescribe $\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} = y - 1$

Paso 5.9

Resuelve $y$

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Paso 5.9.1

Reescribe la ecuación como $y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Paso 5.9.2

Simplifica $e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

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Paso 5.9.2.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Paso 5.9.2.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Paso 5.9.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y - 1 = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Paso 5.9.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.9.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Paso 5.9.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.9.3.2.1

Divide la fracción $\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ en dos fracciones.

$y = e^{\frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Paso 5.9.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = e^{C - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C} + 1$

Paso 6.3

Reescribe $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C}$ como $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C}$ .

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C} + 1$

Paso 6.4

Reordena $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = e^{C} e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$