Cálculo Ejemplos

$\frac{d r}{d t} = \frac{2 t + t r^{2}}{4 r + r t^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $t$ de $2 t + t r^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $t$ de $2 t$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot 2 + t r^{2}}{4 r + r t^{2}}$

Paso 1.1.2

Factoriza $t$ de $t r^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot 2 + t (r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $t$ de $t \cdot 2 + t (r^{2})$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot (2 + r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Paso 1.1.4

Multiplica $t$ por $2 + r^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Paso 1.2

Factoriza $r$ de $4 r + r t^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $r$ de $4 r$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot 4 + r t^{2}}$

Paso 1.2.2

Factoriza $r$ de $r t^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot 4 + r (t^{2})}$

Paso 1.2.3

Factoriza $r$ de $r \cdot 4 + r (t^{2})$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot (4 + t^{2})}$

Paso 1.2.4

Multiplica $r$ por $4 + t^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d r}{d t} = \frac{t}{4 + t^{2}} \cdot \frac{2 + r^{2}}{r}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{r}{2 + r^{2}}$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} (\frac{t}{4 + t^{2}} \cdot \frac{2 + r^{2}}{r})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{t}{4 + t^{2}}$ por $\frac{2 + r^{2}}{r}$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{(4 + t^{2}) r}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $r$ de $(4 + t^{2}) r$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{4 + t^{2}}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $2 + r^{2}$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $2 + r^{2}$ de $t (2 + r^{2})$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{(2 + r^{2}) t}{4 + t^{2}}$

Paso 1.5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{(2 + r^{2}) t}{4 + t^{2}}$

Paso 1.5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{t}{4 + t^{2}}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{r}{2 + r^{2}} d r = \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{r}{2 + r^{2}} d r = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 2 + r^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 r d r$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = r d r$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 2 + r^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [2 + r^{2}]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + r^{2}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [2] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [2] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $2$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $2$ con respecto a $r$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $2 r$ .

$2 r$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 + r^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = 4 + t^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = 4 + t^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $4 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [4 + t^{2}]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.3.1.1.3

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $0$ y $2 t$ .

$2 t$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) = \frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 2 + r^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 + r^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 2 + r^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 4 + t^{2} |)$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = \ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = \ln (| 4 + t^{2} |) + 2 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 2 + r^{2} |) - \ln (| 4 + t^{2} |) = 2 C$

Paso 3.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}) = 2 C$

Paso 3.5

Para resolver $r$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |})} = e^{2 C}$

Paso 3.6

Reescribe $\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}) = 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}$

Paso 3.7

Resuelve $r$

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Paso 3.7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} = e^{2 C}$

Paso 3.7.2

Multiplica ambos lados por $| 4 + t^{2} |$ .

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} | 4 + t^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Paso 3.7.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.3.1

Cancela el factor común de $| 4 + t^{2} |$ .

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Paso 3.7.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} | 4 + t^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Paso 3.7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| 2 + r^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Paso 3.7.4

Resuelve $r$

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Paso 3.7.4.1

Reordena los factores en $e^{2 C} | 4 + t^{2} |$ .

$| 2 + r^{2} | = | 4 + t^{2} | e^{2 C}$

Paso 3.7.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 + r^{2} = \pm | 4 + t^{2} | e^{2 C}$

Paso 3.7.4.3

Reordena los factores en $\pm | 4 + t^{2} | e^{2 C}$ .

$2 + r^{2} = \pm e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Paso 3.7.4.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} = \pm e^{2 C} | 4 + t^{2} | - 2$

Paso 3.7.4.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$r = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | 4 + t^{2} | - 2}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$r = \pm \sqrt{\pm C | 4 + t^{2} | - 2}$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$r = \pm \sqrt{C | 4 + t^{2} | - 2}$