Cálculo Ejemplos

$x y + y^{2} + x^{2} - x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + x^{2} - x^{2} \frac{d y}{d x} = - x y$

Paso 1.1.1.2

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x^{2} \frac{d y}{d x} = - x y - y^{2}$

Paso 1.1.1.3

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} \frac{d y}{d x} = - x y - y^{2} - x^{2}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- x^{2} \frac{d y}{d x} = - x y - y^{2} - x^{2}$ por $- x^{2}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- x^{2} \frac{d y}{d x} = - x y - y^{2} - x^{2}$ por $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} \frac{d y}{d x}}{- x^{2}} = \frac{- x y}{- x^{2}} + \frac{- y^{2}}{- x^{2}} + \frac{- x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{- x y}{- x^{2}} + \frac{- y^{2}}{- x^{2}} + \frac{- x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{- x y}{- x^{2}} + \frac{- y^{2}}{- x^{2}} + \frac{- x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{- x^{2}} + \frac{- y^{2}}{- x^{2}} + \frac{- x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{- x^{2}} + \frac{- x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{- x^{2}} + \frac{- x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{- y^{2}}{- x^{2}} + \frac{- x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{- y^{2}}{- x^{2}} + \frac{- x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- y^{2}}{- x^{2}} + \frac{- x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.4

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{2} + 1$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + V^{2} + 1$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V^{2} + 1$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V + V^{2} + 1 - V$

Paso 6.1.1.1.2

Combina los términos opuestos en $V + V^{2} + 1 - V$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.1.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1 + 0$

Paso 6.1.1.1.2.2

Suma $V^{2} + 1$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$

Paso 6.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ por $x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Paso 6.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + 1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Paso 6.1.4

Cancela el factor común de $V^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1

Reordena $V^{2}$ y $1$ .

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ con respecto a $V$ es $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $V$ del interior de la arcotangente.

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ en $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Reordena los factores en $\tan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$