Cálculo Ejemplos

$2 x \frac{d y}{d x} = x + y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \frac{d y}{d x} - y = x$

Paso 1.2

Divide cada término en $2 x \frac{d y}{d x} - y = x$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Paso 1.4.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{1}{2}$

Paso 1.6

Factoriza $y$ de $\frac{- y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{2 x} = \frac{1}{2}$

Paso 1.7

Reordena $y$ y $\frac{- 1}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2 x} y = \frac{1}{2}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 1}{2 x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 1}{2 x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 1}{2 x}$ .

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Paso 2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{2}})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{1}{2 x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{y}{2 x}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.5.2.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 3.2.5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.5.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.5.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.3

Combinar.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 3.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 7.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 7.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 7.2.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 7.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 7.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.4.1

Reescribe $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.4.2

Simplifica.

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Paso 7.4.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = 1 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.4.2.3

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $(x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3.2.1.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.2.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = x^{\frac{1 + 1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3.2.1.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$y = x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3.2.1.2.4

Divide $2$ por $2$ .

$y = x^{1} + C x^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3.2.1.3

Simplifica $x^{1}$ .

$y = x + C x^{\frac{1}{2}}$