Cálculo Ejemplos

$d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

Paso 1

Resta $d x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} y^{2} d y = - d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Paso 3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$3 y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $- 1$ .

$3 y^{2} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 3 y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.2.3.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ como $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.3.2

Simplifica.

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Paso 4.2.3.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.3.2.3

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.3.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Paso 4.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$y^{3} + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Paso 4.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.3.4.1

Reescribe $- (- x^{- 1} + C_{2})$ como $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$y^{3} + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 4.3.4.2

Simplifica.

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Paso 4.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 4.3.4.2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y^{3} = \frac{1}{x} + K$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$

Paso 5.2

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$ .

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Paso 5.2.1

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{K x}{x}}$

Paso 5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$

Paso 5.2.3

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 5.2.4

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 5.2.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 5.2.5.2

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 5.2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Paso 5.2.5.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Paso 5.2.5.5

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 5.2.5.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 5.2.5.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 5.2.5.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.2.5.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.5.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.2.5.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Paso 5.2.5.5.5

Simplifica.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Paso 5.2.6

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Paso 5.2.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$

Paso 5.2.8

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (1 + K x)}}{x}$