Cálculo Ejemplos

$(x^{3} - 2 y) d x - 2 x d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{3} - 2 y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} - 2 y]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 2 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Paso 1.2.2

Como $x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{3}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Paso 1.4

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - 2 x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 2 = - 2$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = - 2 x$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - 2 x y + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - 2 x y + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} - 2 y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x y + g (x)] = x^{3} - 2 y$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - 2 y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Paso 8.3.1

Como $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $x$ es $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - 2 y$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - 2 y$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - 2 y$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x^{3} - 2 y$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x^{3} - 2 y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} - 2 y + 2 y$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{3} - 2 y + 2 y$ .

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Paso 9.1.2.1

Suma $- 2 y$ y $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $x^{3}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} d x$

Paso 10.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = - 2 x y + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 12

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$f (x, y) = - 2 x y + \frac{x^{4}}{4} + C$