Cálculo Ejemplos

$(1 - x) d y - (y d) x = 0$

Paso 1

Suma $y d x$ a ambos lados de la ecuación.

$(1 - x) d y = y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $1 - x$ de $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $y$ de $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.1.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 4.3.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 4.3.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Paso 5.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 - x |) = C$

Paso 5.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| y (1 - x) |) = C$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Paso 5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.1

Multiplica $y$ por $1$ .

$\ln (| y + y (- x) |) = C$

Paso 5.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (| y - y x |) = C$

Paso 5.6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y - y x |)} = e^{C}$

Paso 5.7

Reescribe $\ln (| y - y x |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - y x |$

Paso 5.8

Resuelve $y$

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Paso 5.8.1

Reescribe la ecuación como $| y - y x | = e^{C}$ .

$| y - y x | = e^{C}$

Paso 5.8.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y - y x = \pm e^{C}$

Paso 5.8.3

Factoriza $y$ de $y - y x$ .

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Paso 5.8.3.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C}$

Paso 5.8.3.2

Factoriza $y$ de $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C}$

Paso 5.8.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C}$

Paso 5.8.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{C}$

Paso 5.8.5

Divide cada término en $y (1 - x) = \pm e^{C}$ por $1 - x$ y simplifica.

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Paso 5.8.5.1

Divide cada término en $y (1 - x) = \pm e^{C}$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Paso 5.8.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.5.2.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 5.8.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Paso 5.8.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C}{1 - x}$