Cálculo Ejemplos

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y = 5 e^{x}$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $(x - 3) y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 3$ y $g (x) = y$ .

$(x - 3) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x - 3) y' + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x - 3) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 3) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 3) y' + y (1 + 0)$

Paso 1.6

Suma $1$ y $0$ .

$(x - 3) y' + y \cdot 1$

Paso 1.7

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Paso 1.8

Reordena $y$ y $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Paso 1.9

Multiplica $y$ por $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [(x - 3) y] = 5 e^{x}$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 3) y] d x = \int 5 e^{x} d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$(x - 3) y = \int 5 e^{x} d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$(x - 3) y = 5 \int e^{x} d x$

Paso 5.2

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$(x - 3) y = 5 (e^{x} + C)$

Paso 5.3

Simplifica.

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$

Paso 6

Divide cada término en $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ por $x - 3$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ por $x - 3$ .

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{5 e^{x} + C}{x - 3}$