Cálculo Ejemplos

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$

Paso 1

Supón que todas las soluciones son en formato $y = e^{r t}$ .

Paso 2

Obtén la ecuación característica para $3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$ .

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

$\frac{d y}{d t} = r e^{r t}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Paso 2.3

Sustituye en la ecuación diferencial.

$3 (r^{2} e^{r t}) + 4 (r e^{r t}) - e^{r t} = 0$

Paso 2.4

Elimina los paréntesis.

$3 r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Paso 2.5

Factoriza $e^{r t}$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $e^{r t}$ de $3 r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Paso 2.5.2

Factoriza $e^{r t}$ de $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r) - e^{r t} = 0$

Paso 2.5.3

Factoriza $e^{r t}$ de $e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) - e^{r t} = 0$

Paso 2.5.4

Factoriza $e^{r t}$ de $- e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1 = 0$

Paso 2.5.5

Factoriza $e^{r t}$ de $e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r - 1) = 0$

Paso 2.6

Como los exponenciales no pueden ser cero, divide ambos lados por $e^{r t}$ .

$3 r^{2} + 4 r - 1 = 0$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.2

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = 4$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.1.3

Suma $16$ y $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 3.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Paso 3.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Paso 3.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Paso 3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.4.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.4.1.3

Suma $16$ y $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.4.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 3.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Paso 3.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$r = \frac{- 2 + \sqrt{7}}{3}$

Paso 3.4.5

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7}}{3}$

Paso 3.4.6

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

Paso 3.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7})}{3}$

Paso 3.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

Paso 3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Paso 3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.3

Suma $16$ y $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 3.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Paso 3.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Paso 3.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$r = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{3}$

Paso 3.5.5

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{7}}{3}$

Paso 3.5.6

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{7})}{3}$

Paso 3.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (\sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 + \sqrt{7})}{3}$

Paso 3.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Paso 3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Paso 4

Con los dos valores obtenidos de $r$ , se pueden construir dos soluciones.

$y_{1} = e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t}$

$y_{2} = e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Paso 5

Según el principio de superposición, la solución general es una combinación lineal de dos soluciones para una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

$y = c_{1} e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Combina $t$ y $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Paso 6.2

Combina $t$ y $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{t (2 + \sqrt{7})}{3}}$