Cálculo Ejemplos

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x y^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{2}} (4 x y^{2})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

Paso 1.2.2

Combina $4$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (x y^{2})$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 x$

Paso 1.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = 4 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $y^{- 2} (y^{2} - 1)$ .

$\int y^{- 2} y^{2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $y^{- 2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{- 2 + 2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.3.1.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$\int y^{0} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica $y^{0}$ .

$\int 1 + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.3.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y^{- 2}$ .

$\int 1 - 1 \cdot y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.3.4

Reescribe $- 1 y^{- 2}$ como $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Paso 2.2.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int 4 x d x$

Paso 2.2.8

Simplifica.

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Paso 2.2.8.1

Simplifica.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Paso 2.2.8.2

Simplifica.

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Paso 2.2.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Paso 2.2.8.2.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, y, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ por $y$ .

$y \cdot y + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Paso 3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} + 1 = 2 x^{2} y + K y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$2 x^{2} y + K y = y^{2} + 1$

Paso 3.3.2

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} = 1$

Paso 3.3.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} - 1 = 0$

Paso 3.3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3.5

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 2 x^{2} + K$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- (2 x^{2} + K) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6

Simplifica.

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Paso 3.3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (2 x^{2}) - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.3

Reescribe ${(2 x^{2} + K)}^{2}$ como $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.4

Expande $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.6.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + K) + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.6.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.6.1.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.5.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.6.1.5.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.5.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.5.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K \cdot K - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.5.1.5

Multiplica $K$ por $K$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.5.2

Suma $2 x^{2} K$ y $2 K x^{2}$ .

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Paso 3.3.6.1.5.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 K x^{2} + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.5.2.2

Suma $2 K x^{2}$ y $2 K x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.6

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Paso 3.3.6.1.6.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.7

Reescribe $4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4$ en forma factorizada.

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Paso 3.3.6.1.7.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.3.6.1.7.1.1

Reescribe $4 x^{4}$ como ${(2 x^{2})}^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.7.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 K x^{2} = 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K$

Paso 3.3.6.1.7.1.3

Reescribe el polinomio.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.7.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 2 x^{2}$ y $b = K$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.1.7.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x^{2} + K$ y $b = 2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$

Paso 3.3.6.3

Simplifica $\frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 x^{2} + K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

Paso 3.3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$