Cálculo Ejemplos

$\frac{d v}{d t} = 16 t - \sec^{2} (t)$ , $v (π) = - 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d v = (16 t - \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d v = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$v + C_{1} = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$v + C_{1} = \int 16 t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.2

Dado que $16$ es constante con respecto a $t$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$v + C_{1} = 16 \int t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.5

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - (\tan (t) + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2}) t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.6.2.1

Combina $16$ y $\frac{1}{2}$ .

$v + C_{1} = \frac{16}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.6.2.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.6.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$v + C_{1} = \frac{8}{1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$v + C_{1} = 8 t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $π$ por $t$ y de $- 3$ por $v$ en $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ .

$- 3 = 8 π^{2} - \tan (π) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$ .

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica $8 π^{2} - \tan (π) + K$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el segundo cuadrante.

$8 π^{2} - - \tan (0) + K = - 3$

Paso 4.2.1.1.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$8 π^{2} - - 0 + K = - 3$

Paso 4.2.1.1.3

Multiplica $- - 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$8 π^{2} - 0 + K = - 3$

Paso 4.2.1.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$8 π^{2} + 0 + K = - 3$

Paso 4.2.1.2

Suma $8 π^{2}$ y $0$ .

$8 π^{2} + K = - 3$

Paso 4.3

Resta $8 π^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - 3 - 8 π^{2}$

Paso 5

Sustituye $- 3 - 8 π^{2}$ por $K$ en $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Sustituye $- 3 - 8 π^{2}$ por $K$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) - 3 - 8 π^{2}$