Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\cos (y) + e^{y}$ .

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\cos (y) + e^{y}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = 6 x^{5} - 2 x + 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(\cos (y) + e^{y}) d y = (6 x^{5} - 2 x + 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \cos (y) + e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \cos (y) d y + \int e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\cos (y)$ con respecto a $y$ es $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} + \int e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Paso 2.2.3

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$\sin (y) + C_{1} + e^{y} + C_{2} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$\sin (y) + e^{y} + C_{3} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Paso 2.2.5

Reordena los términos.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{5} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

Paso 2.3.2

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 \int x^{5} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) + \int - 2 x d x + \int d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 \int x d x + \int d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int d x$

Paso 2.3.6

Aplica la regla de la constante.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{6}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{6}}{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Paso 2.3.7.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{6}}{6} + C_{4}) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = x^{6} - x^{2} + x + C_{7}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} + \sin (y) = x^{6} - x^{2} + x + K$