Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} - 3 x$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (e^{2 x} - 3 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int e^{2 x} - 3 x d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 3 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int - 3 x d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int - 3 x d x$

Paso 2.3.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int - 3 x d x$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 3 x d x$

Paso 2.3.5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int - 3 x d x$

Paso 2.3.6

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) - 3 \int x d x$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.8.2

Simplifica.

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Paso 2.3.8.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.8.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} - \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2} x^{2} + K$