Cálculo Ejemplos

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 1$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

Paso 2.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 (x + y)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.5

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Paso 2.6.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 2$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$0 = - 2$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 + 0}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $1$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $1$ por $M$ .

$\frac{- 2 + 0}{1}$

Paso 4.3.2

Divide $- 2 + 0$ por $1$ .

$- 2 + 0$

Paso 4.3.3

Sustituye $1$ por $M$ .

$- 2$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - 2 d y}$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + C}$

Paso 5.2

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 y} + C$

Paso 6

Multiplica $1$ por $e^{- 2 y}$ .

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- 2 y} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = e^{- 2 y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x + g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{- 2 y} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{- 2 y} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = - 2 y$ .

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Paso 11.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 y$ .

$x (e^{- 2 y} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11.3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x (e^{- 2 y} \cdot - 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11.3.6

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 2 y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 11.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x e^{- 2 y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Suma $2 x e^{- 2 y}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$

Paso 12.1.2

Combina los términos opuestos en $- 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$ .

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Paso 12.1.2.1

Suma $- 2 x e^{- 2 y}$ y $2 x e^{- 2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y} + 0$

Paso 12.1.2.2

Suma $- 2 y e^{- 2 y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- 2 y e^{- 2 y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Paso 13.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$g (y) = - 2 \int y e^{- 2 y} d y$

Paso 13.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{- 2 y}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Paso 13.5

Simplifica.

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Paso 13.5.1

Combina $e^{- 2 y}$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Paso 13.5.2

Combina $y$ y $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Paso 13.5.3

Combina $e^{- 2 y}$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Paso 13.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Paso 13.7

Simplifica.

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Paso 13.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Paso 13.7.2

Multiplica $\int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y$ por $1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Paso 13.8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 y} d y)$

Paso 13.9

Sea $u = - 2 y$ . Entonces $d u = - 2 d y$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 13.9.1

Deja $u = - 2 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 13.9.1.1

Diferencia $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Paso 13.9.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 13.9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 13.9.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 13.9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Paso 13.10

Simplifica.

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Paso 13.10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Paso 13.10.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 13.11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Paso 13.12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Paso 13.13

Simplifica.

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Paso 13.13.1

Elimina los paréntesis.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Paso 13.13.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Paso 13.13.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Paso 13.14

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Paso 13.15

Reescribe $- 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $- 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 13.16

Simplifica.

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Paso 13.16.1

Combina $y$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y}{2} e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 13.16.2

Combina $e^{- 2 y}$ y $\frac{y}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 13.16.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Paso 13.17

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 y$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Paso 13.18

Simplifica.

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Paso 13.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Paso 13.18.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.18.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{- 2 y} y}{2}$ al numerador.

$g (y) = - 2 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Paso 13.18.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (y) = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Paso 13.18.2.3

Cancela el factor común.

$g (y) = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Paso 13.18.2.4

Reescribe la expresión.

$g (y) = - (- e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Paso 13.18.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = 1 (e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Paso 13.18.4

Multiplica $e^{- 2 y}$ por $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Paso 13.18.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.18.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{- 2 y}}{4}$ al numerador.

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Paso 13.18.5.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Paso 13.18.5.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Paso 13.18.5.4

Cancela el factor común.

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Paso 13.18.5.5

Reescribe la expresión.

$g (y) = e^{- 2 y} y - \frac{- e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 13.18.6

Simplifica cada término.

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Paso 13.18.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g (y) = e^{- 2 y} y - - \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 13.18.6.2

Multiplica $- - \frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

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Paso 13.18.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 1 \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 13.18.6.2.2

Multiplica $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ por $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 13.18.7

Combina $e^{- 2 y} y$ y $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ mediante un denominador común.

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Paso 13.18.7.1

Reordena $e^{- 2 y}$ y $y$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 13.18.7.2

Para escribir $y e^{- 2 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 13.18.7.3

Combina $y e^{- 2 y}$ y $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 13.18.7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 13.18.8

Simplifica el numerador.

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Paso 13.18.8.1

Factoriza $e^{- 2 y}$ de $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ .

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Paso 13.18.8.1.1

Factoriza $e^{- 2 y}$ de $y e^{- 2 y} \cdot 2$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 13.18.8.1.2

Multiplica por $1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Paso 13.18.8.1.3

Factoriza $e^{- 2 y}$ de $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Paso 13.18.8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Paso 13.19

Reordena los términos.

$g (y) = \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$ .

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- 2 y}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y + 1) + C$

Paso 15.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y) + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Paso 15.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Paso 15.1.4

Multiplica $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 15.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.1.5.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 15.1.5.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 15.1.6

Combina $e^{- 2 y} y$ y $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ mediante un denominador común.

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Paso 15.1.6.1

Reordena $e^{- 2 y}$ y $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 15.1.6.2

Para escribir $y e^{- 2 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 15.1.6.3

Combina $y e^{- 2 y}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 15.1.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 15.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1.7.1

Factoriza $e^{- 2 y}$ de $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ .

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Paso 15.1.7.1.1

Factoriza $e^{- 2 y}$ de $y e^{- 2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Paso 15.1.7.1.2

Multiplica por $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Paso 15.1.7.1.3

Factoriza $e^{- 2 y}$ de $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Paso 15.1.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Paso 15.2

Para escribir $e^{- 2 y} x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Paso 15.3

Combina $e^{- 2 y} x$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Paso 15.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Paso 15.5

Simplifica el numerador.

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Paso 15.5.1

Factoriza $e^{- 2 y}$ de $e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ .

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Paso 15.5.1.1

Factoriza $e^{- 2 y}$ de $e^{- 2 y} x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Paso 15.5.1.2

Factoriza $e^{- 2 y}$ de $e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2 + 2 y + 1)}{2} + C$

Paso 15.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (2 x + 2 y + 1)}{2} + C$