Cálculo Ejemplos

$\frac{d v}{d t} = 9.8 - 0.196 v$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{9.8 - 0.196 v}$ .

$\frac{1}{9.8 - 0.196 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{9.8 - 0.196 v} (9.8 - 0.196 v)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $9.8 - 0.196 v$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9.8 - 0.196 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{9.8 - 0.196 v} (9.8 - 0.196 v)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9.8 - 0.196 v} \frac{d v}{d t} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{9.8 - 0.196 v} d v = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{9.8 - 0.196 v} d v = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 9.8 - 0.196 v$ . Entonces $d u = - 0.196 d v$ , de modo que $\frac{1}{- 0.196} d u = d v$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 9.8 - 0.196 v$ . Obtén $\frac{d u}{d v}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $9.8 - 0.196 v$ .

$\frac{d}{d v} [9.8 - 0.196 v]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9.8 - 0.196 v$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [9.8] + \frac{d}{d v} [- 0.196 v]$ .

$\frac{d}{d v} [9.8] + \frac{d}{d v} [- 0.196 v]$

Paso 2.2.1.1.2.2

Como $9.8$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $9.8$ con respecto a $v$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- 0.196 v]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d v} [- 0.196 v]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $- 0.196$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 0.196 v$ con respecto a $v$ es $- 0.196 \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - 0.196 \frac{d}{d v} [v]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 0.196 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 0.196$ por $1$ .

$0 - 0.196$

Paso 2.2.1.1.4

Resta $0.196$ de $0$ .

$- 0.196$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.196} d u = \int d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.196}) d u = \int d t$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{0.196}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.196} d u = \int d t$

Paso 2.2.2.3

Mueve $0.196$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{0.196 u} d u = \int d t$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{0.196 u} d u = \int d t$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{0.196}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{0.196}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{0.196} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{0.196} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Reescribe $- \frac{1}{0.196} (\ln (| u |) + C_{1})$ como $- 1 \cdot 5.10204081 \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 5.10204081 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $5.10204081$ .

$- 5.10204081 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9.8 - 0.196 v$ .

$- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) + C_{1} = t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) = t + C$

Paso 3

Resuelve $v$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) = t + C$ por $- 5.10204081$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) = t + C$ por $- 5.10204081$ .

$\frac{- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |)}{- 5.10204081} = \frac{t}{- 5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 5.10204081$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |)}{- 5.10204081} = \frac{t}{- 5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\ln (| 9.8 - 0.196 v |)$ por $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = \frac{t}{- 5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - \frac{t}{5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica por $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - \frac{1 t}{5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Paso 3.1.3.1.3

Factoriza $5.10204081$ de $5.10204081$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - \frac{1 t}{5.10204081 (1)} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Paso 3.1.3.1.4

Separa las fracciones.

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - (\frac{1}{5.10204081} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 5.10204081}$

Paso 3.1.3.1.5

Divide $1$ por $5.10204081$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - (0.196 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 5.10204081}$

Paso 3.1.3.1.6

Divide $t$ por $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - (0.196 t) + \frac{C}{- 5.10204081}$

Paso 3.1.3.1.7

Multiplica $0.196$ por $- 1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t + \frac{C}{- 5.10204081}$

Paso 3.1.3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - \frac{C}{5.10204081}$

Paso 3.1.3.1.9

Multiplica por $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - \frac{1 C}{5.10204081}$

Paso 3.1.3.1.10

Factoriza $5.10204081$ de $5.10204081$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - \frac{1 C}{5.10204081 (1)}$

Paso 3.1.3.1.11

Separa las fracciones.

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - (\frac{1}{5.10204081} \cdot \frac{C}{1})$

Paso 3.1.3.1.12

Divide $1$ por $5.10204081$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - (0.196 \frac{C}{1})$

Paso 3.1.3.1.13

Divide $C$ por $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - (0.196 C)$

Paso 3.1.3.1.14

Multiplica $0.196$ por $- 1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - 0.196 C$

Paso 3.2

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 9.8 - 0.196 v |)} = e^{- 0.196 t - 0.196 C}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - 0.196 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.196 t - 0.196 C} = | 9.8 - 0.196 v |$

Paso 3.4

Resuelve $v$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 9.8 - 0.196 v | = e^{- 0.196 t - 0.196 C}$ .

$| 9.8 - 0.196 v | = e^{- 0.196 t - 0.196 C}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$9.8 - 0.196 v = \pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}$

Paso 3.4.3

Resta $9.8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 0.196 v = \pm e^{- 0.196 t - 0.196 C} - 9.8$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $- 0.196 v = \pm e^{- 0.196 t - 0.196 C} - 9.8$ por $- 0.196$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $- 0.196 v = \pm e^{- 0.196 t - 0.196 C} - 9.8$ por $- 0.196$ .

$\frac{- 0.196 v}{- 0.196} = \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{- 0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 0.196$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 0.196 v}{- 0.196} = \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{- 0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{- 0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.1.1

Simplifica $\frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{- 0.196}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Paso 3.4.4.3.1.2

Multiplica por $1$ .

$v = \frac{1 (\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C})}{0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Paso 3.4.4.3.1.3

Factoriza $0.196$ de $0.196$ .

$v = \frac{1 (\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C})}{0.196 (1)} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Paso 3.4.4.3.1.4

Separa las fracciones.

$v = \frac{1}{0.196} \cdot \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{1} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Paso 3.4.4.3.1.5

Divide $1$ por $0.196$ .

$v = 5.10204081 \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{1} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Paso 3.4.4.3.1.6

Divide $\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}$ por $1$ .

$v = 5.10204081 (\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}) + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Paso 3.4.4.3.1.7

Divide $- 9.8$ por $- 0.196$ .

$v = 5.10204081 (\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}) + 50$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$v = 5.10204081 (\pm e^{- 0.196 t + C}) + 50$

Paso 4.2

Reescribe $e^{- 0.196 t + C}$ como $e^{- 0.196 t} e^{C}$ .

$v = 5.10204081 (\pm e^{- 0.196 t} e^{C}) + 50$

Paso 4.3

Reordena $e^{- 0.196 t}$ y $e^{C}$ .

$v = 5.10204081 (\pm e^{C} e^{- 0.196 t}) + 50$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = 5.10204081 (C e^{- 0.196 t}) + 50$