Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (y - 3)$ ; where $y (0) = 4$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(y + 2) (y - 3)}$ .

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} ((y + 2) (y - 3))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $(y + 2) (y - 3)$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} ((y + 2) (y - 3))$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.2.1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{y + 2}$

Paso 2.2.1.1.2

$\frac{A}{y + 2} + \frac{B}{y - 3}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(y + 2) (y - 3)$ .

$\frac{1 (y + 2) (y - 3)}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Paso 2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (y + 2) (y - 3)}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (y - 3)}{y - 3} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Paso 2.2.1.1.5

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 2.2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (y - 3)}{y - 3} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Paso 2.2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Paso 2.2.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.6.1

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 2.2.1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Paso 2.2.1.1.6.1.2

Divide $(A) (y - 3)$ por $1$ .

$1 = (A) (y - 3) + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Paso 2.2.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A y + A \cdot - 3 + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Paso 2.2.1.1.6.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A y - 3 \cdot A + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Paso 2.2.1.1.6.4

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 2.2.1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A y - 3 A + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Paso 2.2.1.1.6.4.2

Divide $(B) (y + 2)$ por $1$ .

$1 = A y - 3 A + (B) (y + 2)$

Paso 2.2.1.1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A y - 3 A + B y + B \cdot 2$

Paso 2.2.1.1.6.6

Mueve $2$ a la izquierda de $B$ .

$1 = A y - 3 A + B y + 2 B$

Paso 2.2.1.1.7

Mueve $- 3 A$ .

$1 = A y + B y - 3 A + 2 B$

Paso 2.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 3 A + 2 B$

Paso 2.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 3 A + 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A + 2 B$

Paso 2.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 2.2.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 3 A + 2 B$

Paso 2.2.1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = - 3 A + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 2 B$

Paso 2.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 3 A + 2 B$ por $- B$ .

$1 = - 3 (- B) + 2 B$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.2.2.1

Simplifica $- 3 (- B) + 2 B$ .

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Paso 2.2.1.3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$1 = 3 B + 2 B$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.2.2.1.2

Suma $3 B$ y $2 B$ .

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $1 = 5 B$ .

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Paso 2.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $5 B = 1$ .

$5 B = 1$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3.2

Divide cada término en $5 B = 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.2.1.3.3.2.1

Divide cada término en $5 B = 1$ por $5$ .

$\frac{5 B}{5} = \frac{1}{5}$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.1.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 B}{5} = \frac{1}{5}$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $\frac{1}{5}$ .

$A = - (\frac{1}{5})$

$B = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{5}$ .

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{5}, B = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{y + 2} + \frac{B}{y - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{5}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Paso 2.2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.2.1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Paso 2.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{y + 2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{(y + 2) \cdot 5} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Paso 2.2.1.5.3

Mueve $5$ a la izquierda de $y + 2$ .

$- \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Paso 2.2.1.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y - 3}$

Paso 2.2.1.5.5

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{y - 3}$ .

$\int - \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{5 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{5 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{5} \int \frac{1}{y + 2} d y) + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Paso 2.2.5

Sea $u_{1} = y + 2$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.5.1

Deja $u_{1} = y + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.5.1.1

Diferencia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 2.2.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.5.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Paso 2.2.7

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{y - 3} d y = \int d x$

Paso 2.2.8

Sea $u_{2} = y - 3$ . Entonces $d u_{2} = d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.2.8.1

Deja $u_{2} = y - 3$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 2.2.8.1.1

Diferencia $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Paso 2.2.8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 2.2.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 2.2.8.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Paso 2.2.9

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Paso 2.2.10

Simplifica.

$- \frac{1}{5} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.2.11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 2$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y - 3$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) + C_{3} = x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) = x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Combina $\ln (| y + 2 |)$ y $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) = x + C$

Paso 3.1.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $\ln (| y - 3 |)$ .

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$ por $5$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$ por $5$ .

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5}$ al numerador.

$\frac{- \ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Paso 3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Paso 3.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- \ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$- \ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Paso 3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = 5 \cdot x + C \cdot 5$

Paso 3.2.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $C$ .

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = 5 x + 5 C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| y - 3 |) = 5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)} = | y - 3 |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)}) = \ln (| y - 3 |)$

Paso 3.5.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Expande $\ln (e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)})$ ; para ello, mueve $5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ fuera del logaritmo.

$(5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)) \ln (e) = \ln (| y - 3 |)$

Paso 3.5.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)) \cdot 1 = \ln (| y - 3 |)$

Paso 3.5.2.3

Multiplica $5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ por $1$ .

$5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |) = \ln (| y - 3 |)$

Paso 3.5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 2 |) - \ln (| y - 3 |) = - 5 x - 5 C$

Paso 3.5.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}) = - 5 x - 5 C$

Paso 3.5.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |})} = e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.6

Reescribe $\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}) = - 5 x - 5 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 5 x - 5 C} = \frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}$

Paso 3.5.7

Resuelve $y$

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Paso 3.5.7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} = e^{- 5 x - 5 C}$ .

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} = e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.7.2

Multiplica ambos lados por $| y - 3 |$ .

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} | y - 3 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

Paso 3.5.7.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.7.3.1

Cancela el factor común de $| y - 3 |$ .

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Paso 3.5.7.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} | y - 3 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

Paso 3.5.7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y + 2 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

Paso 3.5.7.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.7.4.1

Reescribe la ecuación como $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ .

$e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$

Paso 3.5.7.4.2

Divide cada término en $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ por $e^{- 5 x - 5 C}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.4.2.1

Divide cada término en $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ por $e^{- 5 x - 5 C}$ .

$\frac{e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |}{e^{- 5 x - 5 C}} = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Paso 3.5.7.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.4.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 5 x - 5 C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |}{e^{- 5 x - 5 C}} = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Paso 3.5.7.4.2.2.1.2

Divide $| y - 3 |$ por $1$ .

$| y - 3 | = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Paso 3.5.7.4.3

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$- (y - 3) = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$- (y - 3) = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Paso 3.5.7.4.4

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Paso 3.5.7.4.5

Resuelve $y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ en $y$ .

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Paso 3.5.7.4.5.1

Multiplica ambos lados por $e^{- 5 x - 5 C}$ .

$(y - 3) e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.7.4.5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.4.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.4.5.2.1.1

Simplifica $(y - 3) e^{- 5 x - 5 C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.4.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y e^{- 5 x - 5 C} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.7.4.5.2.1.1.2

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 3.5.7.4.5.2.1.1.2.1

Reordena $- 5 x$ y $- 5 C$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.7.4.5.2.1.1.2.2

Reordena $- 5 x$ y $- 5 C$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.7.4.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.7.4.5.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 5 x - 5 C}$ .

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Paso 3.5.7.4.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.7.4.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = y + 2$

Paso 3.5.7.4.5.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.7.4.5.3.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} - y = 2$

Paso 3.5.7.4.5.3.2

Suma $3 e^{- 5 C - 5 x}$ a ambos lados de la ecuación.

$y e^{- 5 C - 5 x} - y = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Paso 3.5.7.4.5.3.3

Factoriza $y$ de $y e^{- 5 C - 5 x} - y$ .

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Paso 3.5.7.4.5.3.3.1

Factoriza $y$ de $y e^{- 5 C - 5 x}$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - y = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Paso 3.5.7.4.5.3.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot - 1 = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Paso 3.5.7.4.5.3.3.3

Factoriza $y$ de $y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot - 1$ .

$y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Paso 3.5.7.4.5.3.4

Divide cada término en $y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ por $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.7.4.5.3.4.1

Divide cada término en $y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ por $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ .

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} - 1)}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

Paso 3.5.7.4.5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.7.4.5.3.4.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ .

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Paso 3.5.7.4.5.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} - 1)}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

Paso 3.5.7.4.5.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

Paso 3.5.7.4.5.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.7.4.5.3.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

Paso 3.5.7.4.6

Resuelve $y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ en $y$ .

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Paso 3.5.7.4.6.1

Multiplica ambos lados por $e^{- 5 x - 5 C}$ .

$(y - 3) e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.7.4.6.2

Simplifica.

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Paso 3.5.7.4.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.7.4.6.2.1.1

Simplifica $(y - 3) e^{- 5 x - 5 C}$ .

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Paso 3.5.7.4.6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y e^{- 5 x - 5 C} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.7.4.6.2.1.1.2

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 3.5.7.4.6.2.1.1.2.1

Reordena $- 5 x$ y $- 5 C$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.7.4.6.2.1.1.2.2

Reordena $- 5 x$ y $- 5 C$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.7.4.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.7.4.6.2.2.1

Simplifica $- \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$ .

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Paso 3.5.7.4.6.2.2.1.1

Cancela el factor común de $e^{- 5 x - 5 C}$ .

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Paso 3.5.7.4.6.2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ al numerador.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{- (y + 2)}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.7.4.6.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{- (y + 2)}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Paso 3.5.7.4.6.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - (y + 2)$

Paso 3.5.7.4.6.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - y - 1 \cdot 2$

Paso 3.5.7.4.6.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - y - 2$

Paso 3.5.7.4.6.3

Resuelve $y$

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Paso 3.5.7.4.6.3.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2$

Paso 3.5.7.4.6.3.2

Suma $3 e^{- 5 C - 5 x}$ a ambos lados de la ecuación.

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Paso 3.5.7.4.6.3.3

Factoriza $y$ de $y e^{- 5 C - 5 x} + y$ .

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Paso 3.5.7.4.6.3.3.1

Factoriza $y$ de $y e^{- 5 C - 5 x}$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Paso 3.5.7.4.6.3.3.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Paso 3.5.7.4.6.3.3.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot 1 = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Paso 3.5.7.4.6.3.3.4

Factoriza $y$ de $y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot 1$ .

$y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Paso 3.5.7.4.6.3.4

Divide cada término en $y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ por $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.7.4.6.3.4.1

Divide cada término en $y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ por $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ .

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} + 1)}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Paso 3.5.7.4.6.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.7.4.6.3.4.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ .

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Paso 3.5.7.4.6.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} + 1)}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Paso 3.5.7.4.6.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Paso 3.5.7.4.6.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.7.4.6.3.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Paso 3.5.7.4.6.3.4.3.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y = \frac{- 1 (2) + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Paso 3.5.7.4.6.3.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $3 e^{- 5 C - 5 x}$ .

$y = \frac{- 1 (2) - (- 3 e^{- 5 C - 5 x})}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Paso 3.5.7.4.6.3.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (- 3 e^{- 5 C - 5 x})$ .

$y = \frac{- 1 (2 - 3 e^{- 5 C - 5 x})}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Paso 3.5.7.4.6.3.4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Paso 3.5.7.4.7

Enumera todas las soluciones.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{2 + 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 x + C}}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Paso 4.3

Reescribe $e^{- 5 x + C}$ como $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{- 5 x} e^{C})}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Paso 4.4

Reordena $e^{- 5 x}$ y $e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Paso 4.5

Reordena los términos.

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x + C} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Paso 4.6

Reescribe $e^{- 5 x + C}$ como $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x} e^{C} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Paso 4.7

Reordena $e^{- 5 x}$ y $e^{C}$ .