Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 2}$ ; with $y (0) = 2$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y + 2$ .

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(y + 2) d y = \sin (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y + 2 d y = \int \sin (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $2$ por $y$ en $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 = - \cos (0) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

$- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

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Paso 4.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $2^{2}$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.1.1.1.2

Cancela el factor común.

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.1.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 + K = 2 + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 1 + K = 2 + 4$

Paso 4.3.1.2

Suma $2$ y $4$ .

$- 1 + K = 6$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 6 + 1$

Paso 4.4.2

Suma $6$ y $1$ .

$K = 7$

Paso 5

Sustituye $7$ por $K$ en $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $7$ por $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$