Cálculo Ejemplos

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y - x$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y - x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Paso 1.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

Paso 2.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 x = 2 x$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 2 x y - x$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

Paso 5.2

Dado que $2 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Paso 5.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7

Simplifica.

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Paso 5.7.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 5.7.5

Para escribir $y x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 5.7.6

Combina $y x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 5.7.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

Paso 5.7.8

Mueve $2$ a la izquierda de $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

Paso 5.7.9

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

Paso 5.8

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ .

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Paso 8.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y x^{2} - x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.3.3

Como $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y x^{2}$ con respecto a $y$ es $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.3.5

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.3.7

Suma $2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.3.8

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.3.9

Combina $\frac{2}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.3.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.3.10.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $y^{2} + x^{2} - x^{2}$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $y^{2}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Paso 10.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12.1.4

Para escribir $y x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12.1.5

Combina $y x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.7.1

Factoriza $x^{2}$ de $y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

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Paso 12.1.7.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $y x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12.1.7.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12.1.7.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12.1.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12.1.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Paso 12.2

Para escribir $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Paso 12.3

Para escribir $\frac{y^{3}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 12.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 12.4.1

Multiplica $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 12.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 12.4.3

Multiplica $\frac{y^{3}}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

Paso 12.4.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Paso 12.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Paso 12.6

Simplifica el numerador.

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Paso 12.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Paso 12.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Paso 12.6.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Paso 12.6.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Paso 12.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Paso 12.6.6

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Paso 12.6.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Paso 12.6.8

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$