Cálculo Ejemplos

$(x y^{2} + 4 y^{2}) d y - 5 x d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - 5 x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 5 x]$

Paso 2.2

Como $- 5 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2} + 4 y^{2}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{2} + 4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y^{2}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $4 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + 0$

Paso 3.4.2

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $y^{2}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = y^{2}$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$0 = y^{2}$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - y^{2}}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $x y^{2} + 4 y^{2}$ por $N$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $x y^{2} + 4 y^{2}$ por $N$ .

$\frac{0 - y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Paso 5.3.2

Resta $y^{2}$ de $0$ .

$\frac{- y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + 4 y^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x + 4}$

Paso 5.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x + 4}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 4} d x}$

Paso 6.2

Sea $u = x + 4$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u = x + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 6.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 6.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 6.2.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 6.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Paso 6.4

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Paso 6.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 4 |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Simplifica $- \ln (| x + 4 |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 4 |}^{- 1})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x + 4 |}^{- 1} + C$

Paso 6.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 4 |} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x + 4}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $- 5 x$ por $\frac{1}{x + 4}$ .

$- 5 x \frac{1}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.2

Multiplica $- 5 x \frac{1}{x + 4}$ .

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Paso 7.2.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{x + 4}$ .

$x \frac{- 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.2.2

Combina $x$ y $\frac{- 5}{x + 4}$ .

$\frac{x \cdot - 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.3

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 5 \cdot x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.5

Multiplica $x y^{2} + 4 y^{2}$ por $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) \frac{1}{x + 4} d y = 0$

Paso 7.6

Multiplica $x y^{2} + 4 y^{2}$ por $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{x y^{2} + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Paso 7.7

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Paso 7.7.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Paso 7.7.2

Factoriza $y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}{x + 4} d y = 0$

Paso 7.7.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Paso 7.8

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 7.8.1

Cancela el factor común.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Paso 7.8.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = y^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Paso 12.3

Como $\frac{1}{3} y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Paso 12.5

Suma $0$ y $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- \frac{5 x}{x + 4}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Paso 13.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int \frac{5 x}{x + 4} d x$

Paso 13.4

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$g (x) = - (5 \int \frac{x}{x + 4} d x)$

Paso 13.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$g (x) = - 5 \int \frac{x}{x + 4} d x$

Paso 13.6

Divide $x$ por $x + 4$ .

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Paso 13.6.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$4$

$x$

$0$

Paso 13.6.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	+	$0$

Paso 13.6.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$4$

Paso 13.6.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 4$ .

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$

Paso 13.6.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$
					-	$4$

Paso 13.6.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$g (x) = - 5 \int 1 - \frac{4}{x + 4} d x$

Paso 13.7

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = - 5 (\int d x + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Paso 13.8

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = - 5 (x + C + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Paso 13.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - 5 (x + C - \int \frac{4}{x + 4} d x)$

Paso 13.10

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$g (x) = - 5 (x + C - (4 \int \frac{1}{x + 4} d x))$

Paso 13.11

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

Paso 13.12

Sea $u = x + 4$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 13.12.1

Deja $u = x + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 13.12.1.1

Diferencia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 13.12.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 13.12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 13.12.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 13.12.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 13.12.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 13.13

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 (\ln (| u |) + C))$

Paso 13.14

Simplifica.

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| u |)) + C$

Paso 13.15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$ .

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Paso 15.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.2.1

Simplifica $- 4 \ln (| x + 4 |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({| x + 4 |}^{4})) + C$

Paso 15.1.2.2

Elimina el valor absoluto en ${| x + 4 |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Paso 15.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x - 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Paso 15.1.4

Multiplica $- 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4}))$ .

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Paso 15.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + 5 \ln ({(x + 4)}^{4}) + C$

Paso 15.1.4.2

Simplifica $5 \ln ({(x + 4)}^{4})$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({({(x + 4)}^{4})}^{5}) + C$

Paso 15.1.5

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{4})}^{5}$ .

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Paso 15.1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{4 \cdot 5}) + C$

Paso 15.1.5.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{20}) + C$

Paso 15.2

Para escribir $\ln ({(x + 4)}^{20})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Paso 15.3

Combina $\ln ({(x + 4)}^{20})$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \frac{\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 15.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 15.5

Simplifica el numerador.

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Paso 15.5.1

Multiplica $\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3$ .

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Paso 15.5.1.1

Reordena $\ln ({(x + 4)}^{20})$ y $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + 3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})}{3} + C$

Paso 15.5.1.2

Simplifica $3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({({(x + 4)}^{20})}^{3})}{3} + C$

Paso 15.5.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{20})}^{3}$ .

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Paso 15.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20 \cdot 3})}{3} + C$

Paso 15.5.2.2

Multiplica $20$ por $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{60})}{3} + C$