Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 6$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (1 + \frac{1}{x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = x + \ln (| x |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $6$ por $y$ en $y = x + \ln (| x |) + C$ .

$6 = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $1 + \ln (| 1 |) + C = 6$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = 6$

Paso 4.2

Simplifica $1 + \ln (| 1 |) + C$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$1 + \ln (1) + C = 6$

Paso 4.2.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$1 + 0 + C = 6$

Paso 4.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$1 + C = 6$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 6 - 1$

Paso 4.3.2

Resta $1$ de $6$ .

$C = 5$

Paso 5

Sustituye $5$ por $C$ en $y = x + \ln (| x |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $5$ por $C$ .

$y = x + \ln (| x |) + 5$