Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x^{2} + \frac{1}{36}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reordena $x^{2}$ y $\frac{1}{36}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{36}$ como ${(\frac{1}{6})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Paso 2.2.3

La integral de $\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{6}$ .

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.4.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{6}$ .

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.4.4

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$6 \arctan (6 x) = t + K$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Divide cada término en $6 \arctan (6 x) = t + K$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $6 \arctan (6 x) = t + K$ por $6$ .

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\arctan (6 x)$ por $1$ .

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Paso 3.2

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la arcotangente.

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

Paso 3.3

Divide cada término en $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $2$ por $x$ en $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $6$ .

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Paso 6.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Paso 6.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

Paso 6.4

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $K$ del interior de la tangente.

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

Paso 6.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.1

Combina los términos opuestos en $\frac{0}{6} + K$ .

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Paso 6.5.1.1

Divide $0$ por $6$ .

$0 + K = \arctan (12)$

Paso 6.5.1.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = \arctan (12)$

Paso 6.6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.6.1

Evalúa $\arctan (12)$ .

$K = 1.48765509$

Paso 6.7

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Paso 6.8

Resuelve $K$

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Paso 6.8.1

Elimina los paréntesis.

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

Paso 6.8.2

Elimina los paréntesis.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Paso 6.8.3

Suma $3.14159265$ y $1.48765509$ .

$K = 4.62924774$

Paso 6.9

Obtén el período de $\tan (\frac{0}{6} + K)$ .

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Paso 6.9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 6.9.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 6.9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 6.9.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 6.10

El período de la función $\tan (\frac{0}{6} + K)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6.11

Consolida $1.48765509 + π n$ y $4.62924774 + π n$ en $1.48765509 + π n$ .

$K = 1.48765509 + π n$

Paso 7

Sustituye $1.48765509 + π n$ por $K$ en $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $1.48765509 + π n$ por $K$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$