Cálculo Ejemplos

$(y^{2} + 2) d x - x y d y = 0$

Paso 1

Resta $(y^{2} + 2) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y d y = - (y^{2} + 2) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x (y^{2} + 2)}$ .

$\frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x (y^{2} + 2)}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{y^{2} + 2} y d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Paso 3.3

Combina $\frac{- 1}{y^{2} + 2}$ y $y$ .

$\frac{- y}{y^{2} + 2} d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Paso 3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = - \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (y^{2} + 2) d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $y^{2} + 2$ .

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Paso 3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x (y^{2} + 2)}$ al numerador.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (y^{2} + 2) d x$

Paso 3.6.2

Factoriza $y^{2} + 2$ de $x (y^{2} + 2)$ .

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 2) x} (y^{2} + 2) d x$

Paso 3.6.3

Cancela el factor común.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 2) x} (y^{2} + 2) d x$

Paso 3.6.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = - \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.2

Sea $u = y^{2} + 2$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.2.2.1

Deja $u = y^{2} + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Diferencia $y^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 2]$

Paso 4.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 4.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 4.2.2.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 y + 0$

Paso 4.2.2.1.5

Suma $2 y$ y $0$ .

$2 y$

Paso 4.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.6

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.3

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |)) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |))$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Combina $\ln (| y^{2} + 2 |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| y^{2} + 2 |)}{2}) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| y^{2} + 2 |)}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| y^{2} + 2 |)}{2} = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| y^{2} + 2 |)}{2} = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| y^{2} + 2 |)}{2} = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 5.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.1.1.3.2

Multiplica $\ln (| y^{2} + 2 |)$ por $1$ .

$\ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $- 2 (- \ln (| x |) + C)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |)) - 2 C$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\ln (| y^{2} + 2 |) = 2 \ln (| x |) - 2 C$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y^{2} + 2 |) - 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Paso 5.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1

Simplifica $\ln (| y^{2} + 2 |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Paso 5.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y^{2} + 2 |) - \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Paso 5.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y^{2} + 2 |) - \ln (x^{2}) = - 2 C$

Paso 5.4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}}) = - 2 C$

Paso 5.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}})} = e^{- 2 C}$

Paso 5.6

Reescribe $\ln (\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}}) = - 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}}$

Paso 5.7

Resuelve $y$

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Paso 5.7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} = e^{- 2 C}$

Paso 5.7.2

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} x^{2} = e^{- 2 C} x^{2}$

Paso 5.7.3

Simplifica.

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Paso 5.7.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} x^{2} = e^{- 2 C} x^{2}$

Paso 5.7.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| y^{2} + 2 | = e^{- 2 C} x^{2}$

Paso 5.7.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.3.2.1

Reordena los factores en $e^{- 2 C} x^{2}$ .

$| y^{2} + 2 | = x^{2} e^{- 2 C}$

Paso 5.7.4

Resuelve $y$

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Paso 5.7.4.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 2 = \pm x^{2} e^{- 2 C}$

Paso 5.7.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{- 2 C} - 2$

Paso 5.7.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{- 2 C} - 2}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 2}$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} - 2}$