Cálculo Ejemplos

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$e^{y} d y = \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Paso 2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Combina $\frac{2 \ln (x)}{x}$ y $d x$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x) d x}{x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2 d x$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 d x$ fuera de la integral.

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2.3.3

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.3.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.3.3.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int u d u$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ como $2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} d x u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Combina $\frac{2}{2}$ y $d x$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.2.3.1

Cancela el factor común.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.3.2

Divide $d x$ por $1$ .

$e^{y} + C_{1} = d x u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = d x \ln^{2} (x) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) d x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} = \ln^{2} (x) d x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$