Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y (\frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{2 t}{1 + t^{2}}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{(1 + t^{2}) y}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $y$ de $(1 + t^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Paso 2.3.2

Sea $u = 1 + t^{2}$ . Entonces $d u = 2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 1 + t^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.3.2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $0$ y $2 t$ .

$2 t$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + t^{2} |) + 2 C$

Paso 3.3

Simplifica $2 \ln (| 1 + t^{2} |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y^{2} = \ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C}$

Paso 3.5

Elimina el valor absoluto en ${| 1 + t^{2} |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$