Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y \tan (x) - 2 \sin (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Resta $y \tan (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - y \tan (x) = - 2 \sin (x)$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $- y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \tan (x)) = - 2 \sin (x)$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $- 1 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) y = - 2 \sin (x)$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 1 \tan (x)$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 \tan (x) d x}$

Paso 2.2

Integra $- 1 \tan (x)$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \tan (x) d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{- \ln (| \sec (x) |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (\sec (x))}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (\sec^{- 1} (x))}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\sec^{- 1} (x)$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec (x)}$

Paso 2.7

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Paso 2.8

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x)$

Paso 2.9

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x)$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\cos (x)$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x) y) = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1.1

Mueve los paréntesis.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 3.2.1.2

Reordena $\cos (x)$ y $- 1 \tan (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) \cos (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 3.2.1.3

Agrega paréntesis.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\tan (x) \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 3.2.1.4

Reescribe $\cos (x) (- 1 \tan (x) y)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 3.2.1.5

Cancela los factores comunes.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 3.2.2

Reescribe $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 3.4

Reordena los factores en $\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - y \sin (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) y] = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\cos (x) y] d x = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\cos (x) y = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\cos (x) y = - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 7.2

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.2.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 7.2.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 7.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\cos (x) y = - 2 \int - u d u$

Paso 7.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\cos (x) y = - 2 (- \int u d u)$

Paso 7.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\cos (x) y = 2 \int u d u$

Paso 7.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Paso 7.6.2

Simplifica.

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Paso 7.6.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Paso 7.6.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Paso 7.6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\cos (x) y = 1 u^{2} + C$

Paso 7.6.2.3

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$\cos (x) y = u^{2} + C$

Paso 7.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$

Paso 8

Divide cada término en $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ por $\cos (x)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $\cos^{2} (x)$ y $\cos (x)$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Paso 8.3.1.1.2.4

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

Paso 8.3.1.2

Separa las fracciones.

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 8.3.1.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \sec (x)$

Paso 8.3.1.4

Divide $C$ por $1$ .

$y = \cos (x) + C \sec (x)$