Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{8} e^{x^{9}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = x^{8} e^{x^{9}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x^{8} e^{x^{9}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{8} e^{x^{9}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = e^{x^{9}}$ . Entonces $d u_{2} = 9 x^{8} e^{x^{9}} d x$ , de modo que $\frac{1}{9} d u_{2} = x^{8} e^{x^{9}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = e^{x^{9}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $e^{x^{9}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{9}}]$

Paso 2.3.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{9}$ .

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Paso 2.3.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{9}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 2.3.1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 2.3.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{9}$ .

$e^{x^{9}} \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$e^{x^{9}} (9 x^{8})$

Paso 2.3.1.1.4

Simplifica.

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Paso 2.3.1.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{9}} (9 x^{8})$ .

$9 e^{x^{9}} x^{8}$

Paso 2.3.1.1.4.2

Reordena los factores en $9 e^{x^{9}} x^{8}$ .

$9 x^{8} e^{x^{9}}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{9} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{9} u_{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x^{9}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} e^{x^{9}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{9} e^{x^{9}} + K$