Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 4 x$

Paso 1

Sea $v = \frac{d y}{d x}$ . Luego $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sustituye $v$ por $\frac{d y}{d x}$ y $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obtener una ecuación diferencial con variable dependiente $v$ y variable independiente $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = 4 x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 x + C_{1}}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (4 x)$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (4 x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = 4 x e^{2 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 x} v = \int 4 x e^{2 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$e^{2 x} v = 4 \int x e^{2 x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 7.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 7.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Paso 7.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Paso 7.5

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1})$

Paso 7.6

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1})$

Paso 7.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}))$

Paso 7.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.9

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$

Paso 7.10

Reescribe $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$ como $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$

Paso 7.11

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Paso 7.12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.12.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Paso 7.12.1.2

Combina $\frac{x}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Paso 7.12.1.3

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Paso 7.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 x} v = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Paso 7.12.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.12.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$e^{2 x} v = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Paso 7.12.3.2

Cancela el factor común.

$e^{2 x} v = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Paso 7.12.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Paso 7.12.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.12.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{2 x}}{4}$ al numerador.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

Paso 7.12.4.2

Cancela el factor común.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

Paso 7.12.4.3

Reescribe la expresión.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C_{2}$

$e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$

Paso 8

Divide cada término en $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ por $e^{2 x}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Divide cada término en $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $2 x$ por $1$ .

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$v = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Paso 10

Reescribe la ecuación.

$d y = (2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}) d x$

Paso 11

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Paso 11.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{3} = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Paso 11.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Paso 11.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Paso 11.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Paso 11.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Paso 11.3.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Paso 11.3.6

Dado que $C_{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $C_{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{2 x}} d x$

Paso 11.3.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.7.1

Niega el exponente de $e^{2 x}$ y quítalo del denominador.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

Paso 11.3.7.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.7.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.7.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x$

Paso 11.3.7.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 2 x} d x$

Paso 11.3.7.2.2

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- 2 x} d x$

Paso 11.3.8

Sea $u_{2} = - 2 x$ . Entonces $d u_{2} = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.8.1

Deja $u_{2} = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.8.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 11.3.8.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.3.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 11.3.8.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 11.3.8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 11.3.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 11.3.9.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 11.3.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Paso 11.3.11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Paso 11.3.12

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{6}))$

Paso 11.3.13

Simplifica.

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{u_{2}}) + C_{7}$

Paso 11.3.14

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) + C_{7}$

Paso 11.3.15

Reordena los términos.

$y + C_{3} = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C_{2} - x + C_{7}$

Paso 11.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C - x + D$