Cálculo Ejemplos

$2 x (1 + y^{2}) d x + y (1 + x^{2}) d y = 0$

Paso 1

Resta $2 x (1 + y^{2}) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$y (1 + x^{2}) d y = - 2 x (1 + y^{2}) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $1 + x^{2}$ de $y (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{1 + y^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $1 + y^{2}$ de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $1 + y^{2}$ de $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Paso 3.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{1 + x^{2}} x d x$

Paso 3.6

Combina $\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Paso 4.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 4.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 4.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Paso 4.2.1.1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$2 y$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3.4

Sea $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.4.1

Deja $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 4.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3.4.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3.4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 4.3.4.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 4.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 4.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 4.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.9

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |)) + 2 C$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Paso 5.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1

Simplifica $\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

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Paso 5.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) = 2 C$

Paso 5.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| 1 + x^{2} |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

Paso 5.4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

Paso 5.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2})} = e^{2 C}$

Paso 5.6

Reescribe $\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}$

Paso 5.7

Resuelve $y$

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Paso 5.7.1

Reescribe la ecuación como $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$

Paso 5.7.2

Divide cada término en $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ por ${(1 + x^{2})}^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.7.2.1

Divide cada término en $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ por ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.2.2.1

Cancela el factor común de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5.7.2.2.1.2

Divide $| 1 + y^{2} |$ por $1$ .

$| 1 + y^{2} | = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5.7.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 5.7.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1$

Paso 5.7.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$