Cálculo Ejemplos

$e^{2 x} d y + (2 e^{2 x} y - x) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$(2 e^{2 x} y - x) d x + e^{2 x} d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 e^{2 x} y - x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y - x]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{2 x} y - x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2 e^{2 x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 e^{2 x} y$ con respecto a $y$ es $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $2 e^{2 x}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x}$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = e^{2 x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Paso 3.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \cdot 2$

Paso 3.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x}$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 e^{2 x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 e^{2 x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$

Paso 4.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$ es una identidad.

Paso 5

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} d y$

Paso 6

Integra $N (x, y) = e^{2 x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = e^{2 x} y + C$

Paso 7

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$

Paso 8

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 9.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y + g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ .

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Paso 9.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{2 x} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 9.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.5

Simplifica.

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Paso 9.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 9.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 e^{2 x} y - x$

Paso 10

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 10.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 10.1.1

Reordena los factores en $2 e^{2 x} y - x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x} - x$

Paso 10.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.1.2.1

Resta $2 y e^{2 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$

Paso 10.1.2.2

Combina los términos opuestos en $2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$ .

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Paso 10.1.2.2.1

Resta $2 y e^{2 x}$ de $2 y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

Paso 10.1.2.2.2

Suma $- x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

Paso 11

Obtén la antiderivada de $- x$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 11.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Paso 11.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Paso 11.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int x d x$

Paso 11.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 11.5

Reescribe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 13

Simplifica $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Paso 13.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 13.2

Reordena los factores en $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = y e^{2 x} - \frac{x^{2}}{2} + C$