Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{3 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{3 x} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x |)}{3} + C$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3} = C$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica $\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3}$ .

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Paso 3.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1.1

Reescribe $\frac{\ln (| x |)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) - (\frac{1}{3} \ln (| x |)) = C$

Paso 3.3.1.1.2

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Paso 3.3.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Paso 3.4

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

Paso 3.5

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3.6

Resuelve $y$

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

Paso 3.6.2

Multiplica ambos lados por ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Paso 3.6.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.1

Cancela el factor común de ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 3.6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Paso 3.6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Paso 3.6.4

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{3}}$