Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} - 3 y = x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} - 3 y = x^{2}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x}{1}$

Paso 1.3.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = x$

Paso 1.4

Factoriza $y$ de $\frac{- 3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 3}{x} = x$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $\frac{- 3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3}{x} y = x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 3}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 3}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 3}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Paso 2.2.3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 3}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (\frac{- 3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{3}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (\frac{- 3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{3}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} x$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{3 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.2.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 3.2.5.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x$

Paso 3.2.5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} x$

Paso 3.2.5.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x \cdot x^{2}} x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x \cdot x^{2}} x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 7.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x^{- 2} d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - x^{- 1} + C$

Paso 7.3

Reescribe $- x^{- 1} + C$ como $- \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - \frac{1}{x} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 8.1.1

Suma $\frac{1}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{3}} y + \frac{1}{x} = C$

Paso 8.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{3}} y + \frac{1}{x} - C = 0$

Paso 8.1.3

Combina $\frac{1}{x^{3}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} + \frac{1}{x} - C = 0$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Resta $\frac{1}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{3}} - C = - \frac{1}{x}$

Paso 8.2.2

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{3}} = - \frac{1}{x} + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (- \frac{1}{x} + C) x^{3}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (- \frac{1}{x} + C) x^{3}$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (- \frac{1}{x} + C) x^{3}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(- \frac{1}{x} + C) x^{3}$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{x} x^{3} + C x^{3}$

Paso 8.4.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.4.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$y = \frac{- 1}{x} x^{3} + C x^{3}$

Paso 8.4.2.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{2}) + C x^{3}$

Paso 8.4.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{2}) + C x^{3}$

Paso 8.4.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = - 1 x^{2} + C x^{3}$

Paso 8.4.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.4.2.1.3.1

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + C x^{3}$

Paso 8.4.2.1.3.2

Reordena $- x^{2}$ y $C x^{3}$ .

$y = C x^{3} - x^{2}$