Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - 2 y = x + 5$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 2$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- 2 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- 2 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 5$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 5$

Paso 2.3

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x + 5 e^{- 2 x}$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x + 5 e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = x e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = x e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int x e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{- 2 x} y = \int x e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{- 2 x} y = \int x e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.4

Dado que $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.6

Sea $u_{1} = - 2 x$ . Entonces $d u_{1} = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.6.1

Deja $u_{1} = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.6.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 6.6.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 6.6.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 6.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.7.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.10

Simplifica.

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Paso 6.10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.11

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Paso 6.12

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{- 2 x} d x$

Paso 6.13

Sea $u_{2} = - 2 x$ . Entonces $d u_{2} = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.13.1

Deja $u_{2} = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.13.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 6.13.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.13.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 6.13.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 6.13.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 6.14

Simplifica.

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Paso 6.14.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 6.14.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 6.15

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Paso 6.16

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 5 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 6.17

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 5 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 6.18

Simplifica.

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Paso 6.18.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 5$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6.18.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - \frac{5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6.19

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - \frac{5}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 6.20

Simplifica.

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Paso 6.20.1

Simplifica.

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Paso 6.20.2

Simplifica.

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Paso 6.20.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Paso 6.20.2.2

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Paso 6.21

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 6.21.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Paso 6.21.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Paso 6.22

Simplifica.

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Paso 6.22.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Paso 6.22.2

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{5}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$

Paso 6.23

Reordena los términos.

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x}}{2} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Paso 7.1.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Paso 7.1.3

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Paso 7.1.4

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{5}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$

Paso 7.2

Divide cada término en $e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$ por $e^{- 2 x}$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$ por $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 2 x}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.3

Para escribir $- \frac{5 e^{- 2 x}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.4.1

Multiplica $\frac{5 e^{- 2 x}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.5

Simplifica los términos.

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Paso 7.2.3.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- e^{- 2 x} - 5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.5.2.1.1

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $- e^{- 2 x} - 5 e^{- 2 x} \cdot 2$ .

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Paso 7.2.3.5.2.1.1.1

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $- e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 1 - 5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.5.2.1.1.2

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $- 5 e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 1 + e^{- 2 x} (- 5 \cdot 2)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.5.2.1.1.3

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} \cdot - 1 + e^{- 2 x} (- 5 \cdot 2)$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 1 - 5 \cdot 2)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.5.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 1 - 10)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.5.2.1.3

Resta $10$ de $- 1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.5.2.2

Mueve $- 11$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 11 \cdot e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.6.1

Para escribir $- \frac{x e^{- 2 x}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.6.2.1

Multiplica $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.6.4.1

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $- x e^{- 2 x} \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}$ .

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Paso 7.2.3.6.4.1.1

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $- x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.4.1.2

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $- 11 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.4.1.3

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 11$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 11)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 11)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.5

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 11)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.6

Combina $C$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 11)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 11) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.8

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.6.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.8.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.8.3

Mueve $- 11$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x - 11 \cdot e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.6.8.4

Mueve $4$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.8

Multiplica $\frac{- 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ por $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.9

Factoriza $- 1$ de $- 2 e^{- 2 x} x$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x) - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.10

Factoriza $- 1$ de $- 11 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x) - (11 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.11

Factoriza $- 1$ de $- (2 e^{- 2 x} x) - (11 e^{- 2 x})$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.12

Factoriza $- 1$ de $4 C$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.13

Factoriza $- 1$ de $- (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.14

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.3.14.1

Reescribe $- (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)$ como $- 1 (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)$ .

$y = \frac{- 1 (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.14.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Paso 7.2.3.14.3

Reordena los factores en $- \frac{2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = - \frac{2 x e^{- 2 x} + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$