Cálculo Ejemplos

$3 x^{2} e^{y} d x + (x^{3} e^{y} - 1) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} e^{y}]$

Paso 1.2

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2} e^{y}$ con respecto a $y$ es $3 x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ es $a^{y} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{y}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{3} e^{y} - 1$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y} - 1]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} e^{y} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{3} e^{y}$ con respecto a $x$ es $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{y} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{y} x^{2} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $3 e^{y} x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{y} x^{2}$

Paso 2.5.2

Reordena los factores en $3 e^{y} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{y}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 x^{2} e^{y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3 x^{2} e^{y}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$3 x^{2} e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $3 e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3 e^{y}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 e^{y} \int x^{2} d x$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 5.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.1

Reescribe $3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $3 e^{y} \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} e^{y} x^{3} + C$

Paso 5.3.2.2

Combina $\frac{3}{3}$ y $e^{y}$ .

$f (x, y) = \frac{3 e^{y}}{3} x^{3} + C$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{3 e^{y}}{3} x^{3} + C$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $e^{y}$ por $1$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} e^{y} - 1$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3} + g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{y} x^{3} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{y} x^{3}$ con respecto a $y$ es $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ es $a^{y} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} - 1$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} e^{y} + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} - 1$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} = x^{3} e^{y} - 1$

Paso 8.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} e^{y} = x^{3} e^{y} - 1$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $x^{3} e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} - 1 - x^{3} e^{y}$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{3} e^{y} - 1 - x^{3} e^{y}$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $x^{3} e^{y}$ de $x^{3} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - 1$

Paso 9.1.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- 1$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 1 d y$

Paso 10.3

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = - y + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = e^{y} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} - y + C$

Paso 12

Reordena los factores en $f (x, y) = e^{y} x^{3} - y + C$ .

$f (x, y) = x^{3} e^{y} - y + C$