Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 5}{- 7 x + 9}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 y - 5}$ .

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 5} \cdot \frac{2 y - 5}{- 7 x + 9}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $2 y - 5$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 5} \cdot \frac{2 y - 5}{- 7 x + 9}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 7 x + 9}$

Paso 1.2.2

Factoriza $- 1$ de $- 7 x$ .

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- (7 x) + 9}$

Paso 1.2.3

Reescribe $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- (7 x) - 1 (- 9)}$

Paso 1.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (7 x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- (7 x - 9)}$

Paso 1.2.5

Reescribe $- (7 x - 9)$ como $- 1 (7 x - 9)$ .

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 (7 x - 9)}$

Paso 1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{7 x - 9}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{2 y - 5} d y = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 2 y - 5$ . Entonces $d u_{1} = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 2 y - 5$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 5]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y - 5$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 y - 5$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{7 x - 9} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = 7 x - 9$ . Entonces $d u_{2} = 7 d x$ , de modo que $\frac{1}{7} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = 7 x - 9$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $7 x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [7 x - 9]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $7$ y $0$ .

$7$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{7} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 7} d u_{2}$

Paso 2.3.3.2

Mueve $7$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{7 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{7} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{7} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7 x - 9$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |)) = 2 (- \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 2 y - 5 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y - 5 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 2 y - 5 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\ln (| 7 x - 9 |)$ y $\frac{1}{7}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 7 x - 9 |)}{7} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 7 x - 9 |)}{7} + C \cdot \frac{7}{7})$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{7}{7}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 7 x - 9 |)}{7} + \frac{C \cdot 7}{7})$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 \frac{- \ln (| 7 x - 9 |) + C \cdot 7}{7}$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve $7$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 \frac{- \ln (| 7 x - 9 |) + 7 C}{7}$

Paso 3.2.2.1.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.5.1

Combina $2$ y $\frac{- \ln (| 7 x - 9 |) + 7 C}{7}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- \ln (| 7 x - 9 |) + 7 C)}{7}$

Paso 3.2.2.1.5.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (| 7 x - 9 |)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 7 x - 9 |)) + 7 C)}{7}$

Paso 3.2.2.1.5.3

Factoriza $- 1$ de $7 C$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 7 x - 9 |)) - (- 7 C))}{7}$

Paso 3.2.2.1.5.4

Factoriza $- 1$ de $- (\ln (| 7 x - 9 |)) - (- 7 C)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C))}{7}$

Paso 3.2.2.1.5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.1.5.5.1

Reescribe $- (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)$ como $- 1 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- 1 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C))}{7}$

Paso 3.2.2.1.5.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 2 y - 5 |)} = e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}} = | 2 y - 5 |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| 2 y - 5 | = e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}$ .

$| 2 y - 5 | = e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}$

Paso 3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 y - 5 = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}$

Paso 3.5.3

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}} + 5$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}} + 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}} + 5$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}} + 5}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) + C)}{7}} + 5}{2}$