Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Suma $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

Paso 1.1.2

Reordena los términos.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $\frac{3}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

Paso 2.2

Integra $\frac{3}{2 t + 25}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

Paso 2.2.2

Sea $u = 2 t + 25$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Deja $u = 2 t + 25$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Paso 2.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t + 25$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Paso 2.2.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Paso 2.2.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Paso 2.2.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Paso 2.2.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.4.1

Como $25$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $25$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.2.2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Paso 2.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Paso 2.2.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t + 25$ .

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término por ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Combina $\frac{3}{2 t + 25}$ y $y$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Paso 3.2.2

Combina ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Paso 3.2.3

Factoriza $2 t + 25$ de ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Paso 3.2.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Multiplica por $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Paso 3.2.4.2

Cancela el factor común.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Paso 3.2.4.3

Reescribe la expresión.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Paso 3.2.4.4

Divide ${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ por $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Paso 3.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.4

Reordena los factores en ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 7

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 7.2

Sea $u = 2 t + 25$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Deja $u = 2 t + 25$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Diferencia $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Paso 7.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t + 25$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Paso 7.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Paso 7.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Paso 7.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Paso 7.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.4.1

Como $25$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $25$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 7.2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 7.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Paso 7.3

Combina $u^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Paso 7.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 7.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 7.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.2.1

Cancela el factor común.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 7.5.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 7.5.3

Multiplica $\int u^{\frac{3}{2}} d u$ por $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 7.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t + 25$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8

Divide cada término en ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ por ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Divide cada término en ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ por ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{2}{5}$ y ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.3.3

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.3.4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.4.1

Combina $C$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.3.5

Mueve $5$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 8.3.7

Multiplica $\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ por $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$