Cálculo Ejemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + x^{2}$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + x^{2}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + 1$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x} + 1$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V + 1$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V + 1$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V + 1 - V$

Paso 6.1.1.1.2

Combina los términos opuestos en $V^{2} + V + 1 - V$ .

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Paso 6.1.1.1.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0 + 1$

Paso 6.1.1.1.2.2

Suma $V^{2}$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$

Paso 6.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Paso 6.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + 1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Paso 6.1.4

Cancela el factor común de $V^{2} + 1$ .

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Paso 6.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1.1

Reordena $V^{2}$ y $1$ .

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ con respecto a $V$ es $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $V$ del interior de la arcotangente.

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Reordena los factores en $\tan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$