Cálculo Ejemplos

$x y \frac{d y}{d x} + y^{2} = \frac{1}{y}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - y^{2}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $x y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - y^{2}$ por $x y$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $x y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - y^{2}$ por $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (x y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (y^{1} y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.3.1.2.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (y^{1} y^{1})} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.3.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{1 + 1}} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.3.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.3.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{y (- y)}{x y}$

Paso 1.1.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.3.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{y (- y)}{y x}$

Paso 1.1.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{y (- y)}{y x}$

Paso 1.1.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{- y}{x}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} - \frac{y}{x}$

Paso 1.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Para escribir $- \frac{y}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} - \frac{y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Reescribe $y \cdot y^{2}$ como $y^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - (y^{1} y^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{1 + 2}}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{3}}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1^{2} + 1 y + y^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + 1 y + y^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.2.4.4.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})}$ .

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} (\frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Combinar.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \cdot \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{y^{2} x}$

Paso 1.5.2

Combinar.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (x)}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $1 - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) x}$

Paso 1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) (x)}$

Paso 1.5.5

Cancela el factor común de $1 + y + y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) x}$

Paso 1.5.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sea $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ . Entonces $d u = - 3 y^{2} d y$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 - y) (1 + y + y^{2})]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = 1 - y$ y $g (y) = 1 + y + y^{2}$ .

$(1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y + y^{2}] + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Paso 2.2.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 - y) (1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Paso 2.2.1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Paso 2.2.1.1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y])$

Paso 2.2.1.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Paso 2.2.1.1.3.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2.1.1.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.2.1.1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- 1 \cdot 1)$

Paso 2.2.1.1.3.11

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.3.11.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \cdot - 1$

Paso 2.2.1.1.3.11.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $1 + y + y^{2}$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot (1 + y + y^{2})$

Paso 2.2.1.1.3.11.3

Reescribe $- 1 (1 + y + y^{2})$ como $- (1 + y + y^{2})$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) - (1 + y + y^{2})$

Paso 2.2.1.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 - y) \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.4.5.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - y + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$1 - y + 2 y - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 - y + 2 y - 2 y \cdot y - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.6

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y^{1}) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - y + 2 y - 2 y^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.8

Suma $1$ y $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.9

Suma $- y$ y $2 y$ .

$1 + y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 + y - 2 y^{2} - 1 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.11

Resta $1$ de $1$ .

$y - 2 y^{2} + 0 - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.12

Suma $y - 2 y^{2}$ y $0$ .

$y - 2 y^{2} - y - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.13

Resta $y$ de $y$ .

$- 2 y^{2} + 0 - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.14

Suma $- 2 y^{2}$ y $0$ .

$- 2 y^{2} - y^{2}$

Paso 2.2.1.1.4.5.15

Resta $y^{2}$ de $- 2 y^{2}$ .

$- 3 y^{2}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Expande $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1.5.1

Mueve $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - (y \cdot y) - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.6

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1.6.1

Mueve $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.6.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1.6.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y^{1}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2 + 1} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.2.1

Combina los términos opuestos en $1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.2.1.1

Resta $y$ de $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.1.2

Suma $1 + y^{2}$ y $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.1.3

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.1.4

Suma $1$ y $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.2

Combina $\ln (| 1 - y^{3} |)$ y $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}$ al numerador.

$- 3 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.3.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.3.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.3.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.4

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.4.2

Multiplica $\ln (| 1 - y^{3} |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Simplifica $\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.1

Simplifica $3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Paso 3.4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Paso 3.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Paso 3.6

Reescribe $\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 1 - y^{3} | {| x |}^{3}$

Paso 3.7

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Reescribe la ecuación como $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Paso 3.7.2

Divide cada término en $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ por ${| x |}^{3}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.1

Divide cada término en $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ por ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 3.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.2.1

Cancela el factor común de ${| x |}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 3.7.2.2.1.2

Divide $| 1 - y^{3} |$ por $1$ .

$| 1 - y^{3} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 3.7.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 3.7.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Paso 3.7.5

Divide cada término en $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.5.1

Divide cada término en $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.7.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.7.5.2.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.7.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.5.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.7.5.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ como $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.7.5.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1$

Paso 3.7.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \sqrt[3]{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 1}$