Cálculo Ejemplos

$(x + 2) d x - x d y = 0$

Paso 1

Resta $(x + 2) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- x d y = - (x + 2) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (- x) d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 d y = - \frac{1}{x} (x + 2) d x$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 d y = (- \frac{1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$- 1 d y = (- 1 - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Paso 3.6

Multiplica $- \frac{1}{x} \cdot 2$ .

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Paso 3.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 1 d y = (- 1 - 2 \frac{1}{x}) d x$

Paso 3.6.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x}$ .

$- 1 d y = (- 1 + \frac{- 2}{x}) d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 1 d y = (- 1 - \frac{2}{x}) d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - 1 d y = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2

Aplica la regla de la constante.

$- y + C_{1} = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.2

Aplica la regla de la constante.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.6

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Paso 4.3.7

Simplifica.

$- y + C_{1} = - x - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$

Paso 5

Divide cada término en $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{x}{1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$y = x + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1}$ .

$y = x - 1 \cdot (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot (- 2 \ln (| x |))$ como $- (- 2 \ln (| x |))$ .

$y = x - (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.5

Multiplica $- (- 2 \ln (| x |))$ .

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Paso 5.3.1.5.1

Simplifica $- 2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y = x - - \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = x + 1 \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.5.3

Multiplica $\ln ({| x |}^{2})$ por $1$ .

$y = x + \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.6

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = x + \ln (x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.7

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$y = x + \ln (x^{2}) - 1 \cdot C$

Paso 5.3.1.8

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$y = x + \ln (x^{2}) - C$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = x + \ln (x^{2}) + C$