Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 9$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2} + 9}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 9} (y^{2} + 9)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2} + 9$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 9} (y^{2} + 9)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2} + 9} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 9} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Reordena $y^{2}$ y $9$ .

$\int \frac{1}{9 + y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{3^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{3^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\arctan (\frac{y}{3})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.3.2

Reescribe $\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} + C_{1}$ como $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$ por $3$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Paso 3.1.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\arctan (\frac{y}{3})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Paso 3.1.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Paso 3.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\arctan (\frac{y}{3}) = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\arctan (\frac{y}{3}) = 3 \cdot x + K \cdot 3$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $K$ .

$\arctan (\frac{y}{3}) = 3 x + 3 K$

Paso 3.2

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$\frac{y}{3} = \tan (3 x + 3 K)$

Paso 3.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 \tan (3 x + 3 K)$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y}{3} = 3 \tan (3 x + 3 K)$

Paso 3.4.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 3 \tan (3 x + 3 K)$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = 3 \tan (3 x + K)$