Cálculo Ejemplos

Resuelve la Ecuación Diferencial (dy)/(dx) = square root of (x^2-y^2)/(x^2)+y/x
Paso 1
Reescribe la ecuación diferencial como una función de .
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Paso 1.1
Divide y simplifica.
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Paso 1.1.1
Divide la fracción en dos fracciones.
Paso 1.1.2
Simplifica cada término.
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Paso 1.1.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 1.1.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 1.1.2.1.2
Reescribe la expresión.
Paso 1.1.2.2
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.2
Reescribe como .
Paso 2
Sea . Sustituye por .
Paso 3
Resuelve en .
Paso 4
Usa la regla del producto para obtener la derivada de con respecto a .
Paso 5
Sustituye por .
Paso 6
Resuelve la ecuación diferencial sustituida.
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Paso 6.1
Separa las variables.
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Paso 6.1.1
Resuelve
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Paso 6.1.1.1
Simplifica cada término.
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Paso 6.1.1.1.1
Reescribe como .
Paso 6.1.1.1.2
Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, , donde y .
Paso 6.1.1.2
Mueve todos los términos que no contengan al lado derecho de la ecuación.
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Paso 6.1.1.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 6.1.1.2.2
Combina los términos opuestos en .
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Paso 6.1.1.2.2.1
Resta de .
Paso 6.1.1.2.2.2
Suma y .
Paso 6.1.1.3
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 6.1.1.3.1
Divide cada término en por .
Paso 6.1.1.3.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 6.1.1.3.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 6.1.1.3.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 6.1.1.3.2.1.2
Divide por .
Paso 6.1.2
Multiplica ambos lados por .
Paso 6.1.3
Cancela el factor común de .
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Paso 6.1.3.1
Cancela el factor común.
Paso 6.1.3.2
Reescribe la expresión.
Paso 6.1.4
Reescribe la ecuación.
Paso 6.2
Integra ambos lados.
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Paso 6.2.1
Establece una integral en cada lado.
Paso 6.2.2
Integra el lado izquierdo.
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Paso 6.2.2.1
Completa el cuadrado.
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Paso 6.2.2.1.1
Simplifica la expresión.
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Paso 6.2.2.1.1.1
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
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Paso 6.2.2.1.1.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 6.2.2.1.1.1.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 6.2.2.1.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 6.2.2.1.1.2
Simplifica y combina los términos similares.
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Paso 6.2.2.1.1.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 6.2.2.1.1.2.1.1
Multiplica por .
Paso 6.2.2.1.1.2.1.2
Multiplica por .
Paso 6.2.2.1.1.2.1.3
Multiplica por .
Paso 6.2.2.1.1.2.1.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 6.2.2.1.1.2.1.5
Multiplica por sumando los exponentes.
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Paso 6.2.2.1.1.2.1.5.1
Mueve .
Paso 6.2.2.1.1.2.1.5.2
Multiplica por .
Paso 6.2.2.1.1.2.2
Suma y .
Paso 6.2.2.1.1.2.3
Suma y .
Paso 6.2.2.1.1.3
Reordena y .
Paso 6.2.2.1.2
Usa la forma , para obtener los valores de , y .
Paso 6.2.2.1.3
Considera la forma de vértice de una parábola.
Paso 6.2.2.1.4
Obtén el valor de con la fórmula .
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Paso 6.2.2.1.4.1
Sustituye los valores de y en la fórmula .
Paso 6.2.2.1.4.2
Simplifica el lado derecho.
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Paso 6.2.2.1.4.2.1
Cancela el factor común de y .
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Paso 6.2.2.1.4.2.1.1
Factoriza de .
Paso 6.2.2.1.4.2.1.2
Mueve el negativo del denominador de .
Paso 6.2.2.1.4.2.2
Reescribe como .
Paso 6.2.2.1.4.2.3
Multiplica por .
Paso 6.2.2.1.5
Obtén el valor de con la fórmula .
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Paso 6.2.2.1.5.1
Sustituye los valores de , y en la fórmula .
Paso 6.2.2.1.5.2
Simplifica el lado derecho.
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Paso 6.2.2.1.5.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 6.2.2.1.5.2.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 6.2.2.1.5.2.1.2
Multiplica por .
Paso 6.2.2.1.5.2.1.3
Divide por .
Paso 6.2.2.1.5.2.1.4
Multiplica por .
Paso 6.2.2.1.5.2.2
Suma y .
Paso 6.2.2.1.6
Sustituye los valores de , y en la forma de vértice .
Paso 6.2.2.2
Sea . Entonces . Reescribe mediante y .
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Paso 6.2.2.2.1
Deja . Obtén .
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Paso 6.2.2.2.1.1
Diferencia .
Paso 6.2.2.2.1.2
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 6.2.2.2.1.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 6.2.2.2.1.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 6.2.2.2.1.5
Suma y .
Paso 6.2.2.2.2
Reescribe el problema mediante y .
Paso 6.2.2.3
Simplifica la expresión.
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Paso 6.2.2.3.1
Reescribe como .
Paso 6.2.2.3.2
Reordena y .
Paso 6.2.2.4
La integral de con respecto a es .
Paso 6.2.2.5
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 6.2.2.6
Suma y .
Paso 6.2.3
La integral de con respecto a es .
Paso 6.2.4
Agrupa la constante de integración en el lado derecho como .
Paso 6.3
Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer del interior del arcoseno.
Paso 7
Sustituye por .
Paso 8
Resuelve en .
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Paso 8.1
Multiplica ambos lados por .
Paso 8.2
Simplifica.
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Paso 8.2.1
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 8.2.1.1
Cancela el factor común de .
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Paso 8.2.1.1.1
Cancela el factor común.
Paso 8.2.1.1.2
Reescribe la expresión.
Paso 8.2.2
Simplifica el lado derecho.
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Paso 8.2.2.1
Reordena los factores en .