Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $y$ de $\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Paso 2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1

Niega el exponente de $e^{2 - x^{3}}$ y quítalo del denominador.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.2.4

Multiplica $- x^{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.2.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

Paso 2.3.2.2.4.2

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

Paso 2.3.3

Sea $u = - 2 + x^{3}$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.3.1

Deja $u = - 2 + x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Diferencia $- 2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

Paso 2.3.3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.3.1.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.3.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Paso 2.3.3.1.5

Suma $0$ y $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Paso 2.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 2.3.4

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 2.3.5

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.6.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 2.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.6.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

Paso 2.3.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 + x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ .

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ como $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

Paso 6.2.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

Paso 6.2.4

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

Paso 6.3

Divide cada término en $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ por $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ por $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ .

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Paso 6.3.2.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Paso 7

Sustituye $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ por $C$ en $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ por $C$ .

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ y $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Paso 7.3

Factoriza $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ de $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Paso 7.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Paso 7.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Paso 7.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

Paso 7.4.4

Divide $e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ por $1$ .

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1

Factoriza $2$ de $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ .

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Paso 7.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

Paso 7.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

Paso 7.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

Paso 7.5.2

Multiplica $e^{- 2 + x^{3}}$ por $e^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.5.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

Paso 7.5.2.2

Combina los términos opuestos en $- 2 + x^{3} + 2$ .

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Paso 7.5.2.2.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

Paso 7.5.2.2.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$