Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

Paso 1

Sea $v = \frac{d y}{d x}$ . Luego $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sustituye $v$ por $\frac{d y}{d x}$ y $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obtener una ecuación diferencial con variable dependiente $v$ y variable independiente $x$ .

$\frac{d v}{d x} = v$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

Paso 2.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

Paso 3.2

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

Paso 3.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

Paso 4

Resuelve $v$

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Paso 4.1

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

Paso 4.2

Reescribe $\ln (| v |) = x + C_{3}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C_{3}} = | v |$

Paso 4.3

Resuelve $v$

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $| v | = e^{x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{x + C_{3}}$

Paso 4.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

Paso 5

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.1

Reescribe $e^{x + C_{3}}$ como $e^{x} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

Paso 5.2

Reordena $e^{x}$ y $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

Paso 5.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = C_{4} e^{x}$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

Paso 7

Reescribe la ecuación.

$d y = C_{4} e^{x} d x$

Paso 8

Integra ambos lados.

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Paso 8.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

Paso 8.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

Paso 8.3

Integra el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Dado que $C_{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $C_{4}$ fuera de la integral.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

Paso 8.3.2

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

Paso 8.3.3

Simplifica.

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

Paso 8.3.4

Reordena los términos.

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

Paso 8.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = e^{x} C + D$