Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12})$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d s = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $8$ es constante con respecto a $t$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Paso 2.3.2

Sea $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Entonces $d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $t - \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t - \frac{π}{12}]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t - \frac{π}{12}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $- \frac{π}{12}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{π}{12}$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.3

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.6

Divide la única integral en varias integrales.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 2.3.7

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 2.3.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 2.3.9

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.9.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 2.3.9.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 2.3.9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 2.3.9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 2.3.10

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 2.3.11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Paso 2.3.12

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Paso 2.3.13

Simplifica.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Paso 2.3.14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.3.14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Paso 2.3.14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Paso 2.3.14.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t - \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Paso 2.3.15

Simplifica.

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Paso 2.3.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 (- \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Paso 2.3.15.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.15.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{12}$ al numerador.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{12})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.2.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 (6)})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.2.3

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.2.4

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{- π}{6})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.4

Combina $\sin (2 t - \frac{π}{6})$ y $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.5

Aplica la propiedad distributiva.

$s + C_{1} = 4 t + 4 (- \frac{π}{12}) + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.6

Simplifica.

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Paso 2.3.15.6.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.15.6.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{12}$ al numerador.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.1.2

Factoriza $4$ de $12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.1.3

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.1.4

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.15.6.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}$ al numerador.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.2.3

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.2.4

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (- \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.6.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$s + C_{1} = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$