Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{x - 3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = x \sqrt{x - 3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x \sqrt{x - 3} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x \sqrt{x - 3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sqrt{x - 3}$ .

$y + C_{1} = x (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = x \frac{2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2.3.2.2

Combina $x$ y $\frac{2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Paso 2.3.4

Sea $u = x - 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u = x - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 2.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3.4.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Reescribe $\frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2})$ como $\frac{2}{3} x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.2

Combina $\frac{2 x}{3}$ y ${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.3

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.5

Multiplica $5$ por $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.6

Para escribir $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.7

Combina $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.9

Combina $u^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{4}{15}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.10

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.11

Combina $- 3$ y $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.12

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.13

Factoriza $3$ de $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.14.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.14.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.14.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.16

Para escribir $2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.17

Combina $2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{5}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{\frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = \frac{\frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.19

Multiplica $5$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{\frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.20

Reescribe $\frac{\frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ como un producto.

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.21

Multiplica $\frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.22

Multiplica $5$ por $3$ .

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{1}{15} (10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{15} (10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + K$